1、最新 料推荐利用换元法解一元高次方程在初中数学竞赛中，常常会出现一些高次方程求解问题，解这类问题的核心思想是降次，而换元法是其最主要的方法， 所谓换元法， 是指把方程中某些代数式用新的变量代替，使方程的次数降低，从而化难为易，使问题得以解决，这里举例说明如下一、直接换元例 1解方程：(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24分析与解（ x 1）（ x4) x2 5x 4，（ x 2） (x 3) x2 5x 6，设 t x2 5x4，则可将原方程转化为关于t 的一元二次方程t(t 2) 24即 t2 2t 24 0，（ t 4)(t 6) 0， t 4 t 6当 t 4 时， x2 5x
2、0， x 0，或 x 5；当 t 6 时， x2 5x 10 0，此方程无解故原方程的解为 x 0，或 x 5二、均值换元即求出几个代数式的平均值，利用平均值进行代换例 2解方程：(4x 1)(3x 1)(2x 1)（x 1) 3x4分析与解根据上面的经验，这样的方程左边是不能完全展开的，只能部分展开 (4x 1)(x 1) 4x2 5x 1，(3x 1)(2x 1) 6x2 5x 1，2两个代数式有相同的一次项和常数项，故设t 5x 5x 1，则原方程可化为 t2 4x4， t 2x2 或 t 2x2，代回即可求得原方程的根为：x513 6注当然本题也可以直接设t 4x 2 5x 1 或者
3、t 6x 2 5x 1例 3 解方程： (x2) 4 (x4) 4 272分析与解若将方程左边展开，将得到难解的高次方程1注意到(x 2) (x 4) x 1，21最新 料推荐故可设 y x1，则原方程可化为(y 3)4 (y 3)4 272，即y4 54y255 (y2 1)(y 2 55)0， y 1 x 1 1， x 0 或 2三、双变量换元例 4 解方程：(4x2 9)2 (4x 2 9)(9x 2 4) (9x2 4)2 (13x2 13)2分析与解注意到(4x2 9) (9x 2 4) 13x2 13，设 m 4x 2 9， n 9x2 4则原方程可化为m2 mn n2 (m n)
4、2 ，即 mn 0，则有（ 4x 2 9）（ 9x2 4） 0，解得 x 3 ， 2 23注 用换元法解方程，有时引入的新变量可以不止一个，如本题中引入了m， n在例 1 中，如果注意到(x 1)(x 4)（ x2）（ x3) 2，还可以设 m（ x1）（ x 4），n (x2) （x 3），则有 mn2mn24由韦达定理可知m， n 是方程 z2 2z 24 0 的根，求解这个方程即可以得到原方程的根（过程略） 四、倒数换元4322形如 ax bx cx bx a0（ a 0）的倒数方程可以两边同除以x ，降次换元例 5 解方程：12x 4 56x389x 2 56x 12 0分析与解直接因式分解比较困难，容易发现该方程是倒数方程（与首尾等距离的项的系数相等） 又因为 x 0 不是方程的根，所以两边同时除以x2，得2最新 料推荐五、常值换元将某一常值看作未知数，原来的未知数当成常数，则可以把高次方程转化为低次方程例 6解方程：x32 3x23x310 分析与解这是关于x 的三次方程，直接解这个方程有一定困难，如果把3 看成未知数，则原方程可化为求解高次方程的方法还有很多， 需要我们在平时的学习过程中， 不断整理， 不断总结，逐步深化，灵活运用3
