1、直线和圆的位置关系知识精讲直线与圆的位置关系：设 O 的半径为置关系如下表：位置关系相离相切r ，圆心 O 到直线图形rOdlrOl的距离为定义直线与圆没有公共点直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共d ，则直线和圆的位性质及判定dr直线l与 O 相离dr直线l相交drOdll点叫做切点直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线与 O 相切dr直线l与 O 相交三点剖析考点 ：直线与圆的位置关系重难点 ：直线与圆的位置关系易错点 ： dr ，相离； dr ，相交题模精讲题模一：利用数量关系推导直线和圆的位置关系例 1.1 1 如图， AD是 O的切线，切点为 A， AB是 O 的弦过点
2、B 作 BC AD，交 O于点 C，连接 AC，过点 C 作 CD AB，交 AD于点 D连接 AO并延长交 BC于点 M，交过点 C 的直线于点 P，且 BCP= ACD（ 1）判断直线 PC与 O的位置关系，并说明理由；（ 2）若 AB=9， BC=6求 PC的长【答案】（ 1） PC 与圆 O 相切；（ 2）PC= 27 7【解析】（1） PC 与圆 O 相切，理由为：过 C 点作直径 CE，连接 EB，如图， CE 为直径， EBC=90 ，即 E+ BCE=90 ， AB DC ，第 1页 ACD= BAC ， BAC= E， BCP= ACD E=BCP， BCP+ BCE=90
3、，即 PCE=90 ，CE PC，PC 与圆 O 相切；（2） AD 是 O 的切线，切点为 A ，OA AD ，BC AD ，AM BC ，BM=CM= 1BC=3 ，2AC=AB=9 ，在 Rt AMC 中， AM= AC2CM 2 =6 2，设 O 的半径为 r，则 OC=r ， OM=AM-r=62 -r，在 Rt OCM 中，OM 2+CM 2=OC 2，即 32+（ 62 -r）2=r2，解得 r= 272 ，8CE=2r= 272， OM=62 - 272=21 2 ，488BE=2OM=212 ，4 E=MCP ， Rt PCM Rt CEB，即 PC = 3 ，27 221
4、24 4 PC= 27 7题模二：利用直线和圆的位置关系求参数的取值范围例 1.2.1射线 QN与等边 ABC的两边 AB，BC分别交于点 M，N，且 AC QN，AMBM 2 cm，QM 4 cm动点 P 从点 Q出发，沿射线 QN以每秒 1cm的速度向右移动，经过t 秒，以点 P为圆心，3cm为半径的圆与的边相切，请写出可取的所有值_ABC【答案】t 2 或 3t 7 或 t8【解析】该题考察的是三角形相关综合问题 ABC 是等边三角形，N 为 BC 中点，分为三种情况：如图1，当 P 切 AB 于 M时，连接PM ，第 2页则 PM3cm ，PM M90 ，即 t 2 ；如图 2，当 P
5、 于 AC 切于 A 点时，连接 PA，则CAPAPM 90 ，PMABMN60 ， AP3cm ，即 t3，当 P 于 AC 切于 C 点时，连接 PC，则CP NACP 90，P NCBNM60 ， CP3cm ，即当 3t7 时， P 和 AC 边相切；如图 3，当 P 切 BC 于 N时，连接 PN则 PN3cm ，PN N90 ，即 t8；故答案为： t2 或 3 t7 或 t 8 例 1.2.2 直线 l 与半径为 r的 O相交，且点 O到直线 l 的距离为6，则 r 的取值范围是 （）Ar 6Br=6C r 6D r 6【答案】 C【解析】直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且
6、点 O 到直线 l 的距离 d=6 ， r 6故选 C例 1.2.3已知 AOB=30，P 是 OA上的一点， OP=24cm，以 r 为半径作 P（ 1）若 r=12cm，试判断 P 与 OB位置关系；（ 2）若 P 与 OB相离，试求出 r 需满足的条件【答案】 （ 1）相切；（ 2） 0cm r 12cm【解析】过点 P 作 PCOB，垂足为C，则 OCP=90 AOB=30 ， OP=24cm ，PC= 1OP=12cm2（1）当 r=12cm 时， r=PC， P 与 OB 相切，即 P 与 OB 位置关系是相切（2）当 P 与 OB 相离时， r PC，r 需满足的条件是： 0cm
7、r 12cm例 1.2.4如图，在平面直角坐标系中， 已知 O的半径为1，动直线 AB与 x 轴交于点 P( x, 0) ，直线 AB与 x 轴正方向夹角为 45 ，若直线 AB与 O有公共点，则x 的取值范围是（）第 3页yAO PxBA1 x 1B B2 x2C 0 x2D2x2【答案】 D【解析】该题考查的是直线与圆的位置关系若直线 AB 与 O 有公共点直线AB 与 O 相交或者相切，只要找到两个相切的临界值，相交位于之间即可，如图：连结 OM ，AB 为 O 的切线，在 RtOMN 中， NOM 45则 x 的取值范围是2x2 ，故答案选DyANOPxMB随堂练习随练 1.1如图，
8、ABC中， AB=6，AC=8，BC=10，D、E 分别是 AC、AB 的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A相交B相切C相离D无法确定【答案】 A【解析】过点 A 作 AM BC 于点 M ，交 DE 于点 N ，AM BC=AC AB ，68AM=4.8，D 、 E 分别是 AC 、 AB 的中点，1DE BC ， DE=BC=5 ，1AN=MN=AM ， MN=2.4 ，以 DE 为直径的圆半径为2.5， r=2.5 2.4，第 4页以 DE 为直径的圆与 BC 的位置关系是：相交故选： A 随练 1.2如图，给定一个半径长为2 的圆，圆心 O到水平直线 l 的距离为 d，即
9、 OM=d我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m如 d=0 时， l 为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于 1 的点，即 m=4，由此可知：（ 1 ）当 d=3 时， m=；（ 2 ）当 m=2时， d 的取值范围是【答案】0 d 3 【解析】（ 1 ） 当 d=3 时 ， 3 2， 即 d r ，直 线 与 圆 相 离 ， 则 m=1 ，故 答 案 为 ： 1 ；（ 2 ）当 m=2时 ，则 圆 上 到 直 线 l 的 距 离 等 于1 的 点 的 个 数 记 为 2 ，直 线 与 圆 相 交 或 相 切 或 相 离 ， 0 d 3， d 的 取 值 范 围 是
10、 0 d 3随练 1.3如图，以点 O为圆心的两个同心圆，半径分别为5 和 3，若大圆的弦 AB与小圆相交，则弦长 AB 的取值范围是 _A 8 AB10B AB 8C 8 AB 10D 8 AB 10【答案】 C【解析】当 AB 与小圆相切时， OC AB ，则 AB=2AC=2 25 9 =24=8；当 AB 过圆心时最长即为大圆的直径10则弦长 AB 的取值范围是 8 AB10故选 C随练 1.4如图，在 Rt ABC中，C 90 ， AC6 ， BC8 ，以 C为圆心， r 为半径的圆与 AB有何位置关系？为什么？【答案】当 r 4.8 时，以 C 为圆心， r 为半径的圆与AB 相离
11、；当 r4.8 时，以 C 为圆心， r 为半径的圆与AB 相切；当 r4.8 时，以 C 为圆心， r 为半径的圆与AB 相交【解析】作 CD AB 于 D ，在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理得 AB=10，则 CD68 10 4.8 ；当 r4.8 时，以 C 为圆心， r 为半径的圆与AB 相离；当 r4.8 时，以 C 为圆心， r 为半径的圆与AB 相切；当 r4.8 时，以 C 为圆心， r 为半径的圆与AB 相交随练 1.5如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心 O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点 B小圆的切线 AC与大圆相交于点D，且 CO平分 ACB第 5
12、页（ 1）试判断 BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（ 2）试判断线段 AC、 AD、 BC之间的数量关系，并说明理由（ 3）若 AB=8， BC=10，求大圆与小圆围成的圆环的面积【答案】 （ 1） BC所在直线与小圆相切（ 2） AC+AD=BC（ 3）16 【解析】 （ 1） BC 所在直线与小圆相切理由如下：过圆心 O 作 OEBC ，垂足为E；AC 是小圆的切线，AB 经过圆心O，OA AC ；又 CO 平分 ACB ，OE BC ，OE=OA ，BC 所在直线是小圆的切线（ 2） AC+AD=BC 理由如下：连接 OD AC 切小圆 O 于点 A ，BC 切小圆 O 于点
13、E，CE=CA ；在 RtOAD 与 RtOEB 中， Rt OAD RtOEB（ HL ）， EB=AD ； BC=CE+EB ， BC=AC+AD （3） BAC=90 ， AB=8cm ， BC=10cm ， AC=6cm ； BC=AC+AD ，AD=BC AC=4cm ，圆环的面积为： S=（ OD ） 2 （ OA ） 2=（OD 2OA 2），又 OD2 OA 2=AD 2， S=42 =16（cm2）随练 1.6如图：已知点P（3,4），以点 P 为圆心， r 为半径的圆P 与坐标轴有四个交点，则r 的取值范围是（）Ar4Br4 且 r5Cr3Dr3 且 r5【答案】 B【解析
14、】作 PA x 轴，连结OP，如图，点 P 的坐标为（3，4），当以点 P 为圆心， r 为半径的圆P 与坐标轴有四个交点时，r 的取值范围为r4 且 r5 随练 1.7如图，在平面直角坐标系中，已知点A（ 1， 0），B（1 a，0）， C（ 1+a， 0）（ a0），点 P 在以 D（ 4， 4）为圆心， 1 为半径的圆上运动，且始终满足BPC=90，则 a 的最大值是【答案】6【解析】 A （1， 0），B （ 1a， 0）， C（ 1+a， 0）（ a 0）， AB=1 （ 1 a） =a， CA=a+1 1=a， AB=AC ，第 6页 BPC=90 ， PA=AB=AC=a ，如图
15、延长 AD 交 D 于 P，此时 AP 最大，A （ 1， 0）， D（ 4，4）， AD=5 ，AP =5+1=6 ，a 的最大值为6随练 1.8 如图，在 ABC中，已知 AB=BC=CA=4cm，AD BC于 D，点 P、 Q分别从 B、C 两点同时出发，其中点 P 沿 BC向终点 C 运动，速度为 1cm/s ；点 Q沿 CA、 AB向终点 B 运动，速度为 2cm/s ，设它们运动的时间为 x（ s）（ 1）求 x 为何值时， PQ AC；（ 2）设 PQD的面积为 y（ cm2），当 0 x 2 时，求 y 与 x 的函数关系式；（ 3）当 0 x 2 时，求证： AD平分 PQD
16、的面积；（4）探索以 PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x 的取值范围（不要求写出过程）【答案】（ 1 ） x= 4 ；（2 ） y=3x2+3 x；（3）证明见解析； （ 4 ）当 0x4或 4 x5255 16 或 16 x4时，以 PQ为直径的圆与AC相交55【解析】（ 1）当 Q 在 AB 上时，显然PQ 不垂直于AC，当 Q 在 AC 上时，由题意得， BP=x，CQ=2x，PC=4x； AB=BC=CA=4， C=60；若 PQ AC，则有 QPC=30， PC=2CQ， 4x=22x， x= 4 ； 5（2） y=3x2+ 3 x，2如图，当 0 x 2 时，
17、P 在 BD 上， Q 在 AC 上，过点Q 作 QNBC 于 N；1 C=60，QC=2x， QN=QCsin60 =3 x；AB=AC，AD BC，BD=CD=BC=2，DP=2 x， y= 1PD?QN= 1（ 2 x）? 3 x=3x2+ 3 x；222（ 3）当 0 x 2 时，在 RtQNC 中， QC=2x， C=60； NC=x， BP=NC，BD=CD， DP=DN； AD BC，QN BC， AD QN， OP=OQ， SPDO=SDQO，AD 平分 PQD 的面积；（4）显然，不存在x 的值，使得以PQ 为直径的圆与AC 相离，由（ 1）可知，当x= 4 时，以 PQ 为直径的圆与AC 相切；5当点 Q 在 AB 上时， 8 2x= x ，解得 x= 16 ，故当 x= 4 或 16 时，以 PQ 为直径的圆与AC 相2555切，第 7页当 0x 4 或 4 x 16 或 16 x4时，以 PQ 为直径的圆与AC 相交5555第 8页
