1、ABCD - A1B1C1D1 中最新 料推荐典型例题一例 1 设有四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长都相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体其中真命题的个数是（）A1B2C 3D 4分析：命题是假命题 因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体底面是矩形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；命题是假命题底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题是假命题因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直命题是真命题，如图所示，平行六面体所有对角线相等，对角面B1BDD 1 是平行四边形
2、，对角线BD1B1D ，所以四边形B1BDD 1 是矩形，即 BB1BD ，同理四边形 A1 ACC1 是矩形，所以 AA1AC ，由 AA1 / BB1 知 BB1底面 ABCD ，即该平行六面体是直平行六面体故选 A 说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”，由此，我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的见表表平行四边形平行六面体对边平行且相等相对的侧面平行且全等对角线交于一点， 且在这一点互相对角线交于一点且在这一点互平分相平分四条边的平方和等于两条对角线十二
3、条棱的平方和等于四条对的平方和角线的平方和1最新 料推荐典型例题二例 2 如图，正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，对角线 BD18 ， BD1 与侧面 BB1C1C 所成角为 30 ，求：（1） BD1 与底面 ABCD 所成角；（2）异面直线 BD1 与 AD 所成角；（ 3）正四棱柱的全面积分析： 正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底面ABCD 、A1 B1C1D1 是正方形，长方体中有比较多的线面垂直关系，而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条件题中无论是已知线面成角，还是求线面成角，都要把它们转化为具体的角，落实线面成角，先要找线面垂直关系 异面直线 BD1 与 AD
4、 所成角通过 AD / A1 D1 ，落实为具体的A1D1B 正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面积公式解：（ 1）在正四棱柱 A1C 中， D1C1面 BB1C1C ，D1 BC1 是 D1 B 与侧面BB1C1C 所成角，即 D1BC1 30 BD1 8 ， D1C14 ， BC1 4 3 ， A1 B1C1D1 是正方形， B1C1 D1C1 4 ，D1D平面 ABCD ，D1 BD 是 D1B 与底面 ABCD 所成角，在 Rt D DB 中， BDB D4 2 ，BD1 8，11 1 cosD1BDBD2 ，D1 BD 45 ，BD12即 BD1 与底面 ABCD 所成角为 4
5、5 （2） AD / A1 D1 ， A1D1B 是 BD1 与 AD 所成角（或补角） D1 A1平面 AA1B1B ， D1 A1A1B ，Rt A1D1 B 中， A1 D14 ， BD18 ， cosA1D1 B1 ，A1 D1B60 ，22最新 料推荐即异面直线 AD 与 BD1 所成角为 60 （3） Rt BB1C1 中， B1C14 ， BC143 BB14 2 ，全2 4 4 4 4 2 4 4 2 32 2 2 1 S说明：长方体是一种特殊的棱柱， 充分感受其中丰富的线面垂直、 线线垂直关系是灵活解题的关键，各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件典型例题三例 3
6、如图，已知长方体 ABCD - A1B1C1 D1 中，棱长 AA15 ， AB12，求直线 B1C1与平面 A1 BCD1 的距离分析： 求直线到平面的距离，首先要找直线上的点到平面的垂线，而找平面的垂线的一个很有用的思路是，找平面内一条直线与某一平面垂直，这里我们不难看出，长方体中有 CB平面 AA1BB1 ，这样，只要作 B1HA1 B ， 又有 B1HCB ，得 到 B1H平 面BC D A 11解：长方体 AC1 中 ，有 BC平面 AA1 BB1 ，过 B1 作 B1HA1B 于 H ，又有BCB1 H ，B1 H平 BCD1 A1 ，即 B1H 是 B1C1 到平面 A1 BCD
7、1 的距离在 Rt BB1 A1 中，由已知可得， BB15 ， A1B112 ，A1B13 ， B1H60 13即 B1 H 是 B1C1 到平面 A1BCD1 的距离为 60 13说明：长方体中有棱与面的线面垂直关系，正方体除此之外， 还有对角线与对角面的线面垂直关系，比如，求正方体AC1 中， A1C1 与面 C1BD 所成角这里，要3最新 料推荐找 A1C1 与 C1BD 所成角，必须找A1 到平面 C1BD 的垂线，因为 BD面 AA1C1C ，在对角面 AC1 内，过 A1 作 A1HOC1 于 H ，则 BD A1H ，所以 A1H面 C1BD ，可 以得 到A1C1O 为 A1
8、C1 与面 C1BD 所 成 角 ， 在 对 角 面 AA1C1C 中 可 计 算A1C1Oarctan2 典型例题四例 4 如图，已知直三棱柱ABCD - A1 B1C1D1 中， ABAC ， F 为侧棱 BB1 上一点，BFBC2a ， FB1a （ 1）若 D 为 BC 的中点， E 为 AD 上不同于 A 、 D 的任一点，求证： EFFC1 ；（2）若 A1 B13a ，求 FC1 与平面 AA1 B1B 所成角的大小分析： E 点在 AD 上变化， EF 为平面 ADF 内变化的一组相交直线（都过定点F ），要证明 C1 F 与 EF 垂直，必有 C1F平面 ADF 求 FC1
9、与平面ABB1 A1 所成角的关键是找C1 到面ABB1 A1 的垂线，从而落实线面成角， 直三棱柱中， 侧棱 AA1平面 A1B1C1 给找点 C1 到面 AB1 的垂线创造了方便的条件解：（ 1） AB AC ，且 D 是 BC 的中点， ADBC ，又直三棱柱中 BB1平面 ABC ， ADBB1 ，AD平面 BB1C1C， ADC1F 在矩形 BB1C1C 中， BFBC 2a， B1F a ， DF5a ， FC15a ， DC110 a ， DF 2FC 12DC12 ， DFC 190 ，即 FC1 DF ， FC1平面 ADF ， FC1 EF （2）过 C1 作 C1 H A
10、1 B1 于 H ， AA1 平面 A1 B1C ， AA1C1H ， C1 H平面 AA1 B1B ，连接 FH ， C1FH 是 C1F 与平面 AB1 所成角在等腰 ABC 中， ABAC 3a ， BC 2a ， AD 2 2a，4最新 料推荐在等腰 A1 B1C1 中，由面积相等可得， C1H 3a2 2 2a ， C1 H4 2 a ，又 C1 F5a ，3在 Rt C1 HF 中， sin C1 FH4 10 ，15 C1 FH arcsin4 10 ，15即 C1 F 与平面 AB1 所成角为 arcsin 4 10 15说明：由于点 E 在 AD 上变化，给思考增加了难度，但
11、仔细思考，它又提供了解题的突破口，使得线线垂直成为了 CF1 与一组直线垂直本题的证明还有一个可行的思路，虽然 E 在 AD 上变化，但是由于AD平面 BB1C1C ，所以 E 点在平面 BC1 上的射影是定点 D ， EF 在平面 BC1 上射影为定直线DF ，使用三垂线定理，可由C1FDF ，直接证明C1 FEF 三垂线定理是转化空间线线垂直为平面内线线垂直的一个有力工具，再看一个例子，正方体 AC1 中，O 是底面 ABCD的中心， E 是 A1 B1 上动点， F 是 DD1 中点，求 AF 与 OE 所成角我们取AD 中点 G ，虽然 E 点变化，但 OE 在面 AD1 上射影为定直
12、线A1G ，在正方形 AA1D1D 中，易证 A1BAF ，所以， AFOE ，即 AF 与 OE 所成角为 90 典型例题五例 5 如图，正三棱柱 ABC - A1 B1C1 的底面边长为 4，侧棱长为 a ，过 BC的截面与底面成 30 的二面角，分别就（ 1） a3 ；（2） a1 计算截面的面积分析：要求出截面的面积，首先必须确定截面的形状，截面与底面成 30 的二面角，如果a 较大，此时截面是三角形；但是如果a 较小，此时截5最新 料推荐面与侧棱不交，而与上底面相交，截面为梯形解：截面与侧棱 AA1 所在直线交于D 点，取 BC 中点 E ，连 AE 、 DE ， ABC 是等边三角
13、形，AEBC ， AA1平面 ABC ， DEBC DEA 为截面与底面所成二面角的平面角， DEA 30 等边 ABC 边长为 4， AE 2 3在 Rt DAE 中， DAAE tanDEA2 （1）当 a3时， D 点在侧棱AA1 上，截面为 BCD ，在 Rt DAE 中， DEAD 2AE 24 ， S BCD1 BC DE1 4 48 22（2）当 a1时， D 点在 AA1 延长线上，截面为梯形 BCMN ， AD 2 ， AA1 1 MN 是 DBC 的中位线， S梯形 BCMN3 S DBC3 8 6 44说明：涉及多面体的截面问题，都要经过先确定截面形状，再解决问题的过程，
14、本例通过改变侧棱长而改变了截面形状， 我们也可以通过确定侧棱长， 改变截面与底面成角而改变截面形状典型例题六例 6 斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中，平面 AA1C1C底面 ABC ， BC2 ， AC23 ，ABC90 ， AA1A1C ，且 AA1A1C （1）求 AA1 与平面 ABC 所成角；（2）求平面 A1 ABB1 与平面 ABC 所成二面角的大小；（3）求侧棱 BB1 到侧面 AA1C1C 的距离分析：按照一般思路，首先转化条件中的面面垂直关系，6最新 料推荐由 A1 AA1C ，取 AC 的中点 D ，连 A1D ，则有 A1DAC ，从而有 A1D平面 ABC ，在此
15、基础上， A1 A 与底面所成角以及平面A1 ABB1 与底面所成二面角都能方便地找到，同时 A1 D底面 ABC 也为寻找 B 点到面 AA1C1C 的垂线创造了条件解：（1）取 AC 的中点 D ，连接 A1D ， A1 AA1C ， A1DAC ，平面 AA1C1C底面 ABC ， A1 D底面 ABC ，A1 AC 为 A1 A 与底面 ABC 所成角 AA1A1C 且 AA1A1C ， A1 AC 45 （2）取 AB 中点 E ，则 DE / BC ，ABC90 ， CBAB ， DEAB 连 A1 E ， A1 D底面 ABC ， A1 E 在平面 ABC 上射影为 DE ， A
16、1 EAB ，A1 ED 为侧面 A1B 与底面 ABC 所成二面角的平面角在等腰 Rt A1 AC 中， AC23 ， A1 D3 在 Rt ABC 中， BC 2 ， DE 1 在 Rt A1 DE 中， tanA1 D3 ，A1EDDE A1 ED 60 ，即侧面 AA1 B1B 与底面 ABC 所成二面角的大小为 60 （3）过 B 作 BHAC 于 H ， A1 D底面 ABC ， A1 D BH ， BH 平面 AA1C1C ，在 Rt ABC 中， AC2 3 ， BC2 ， AB 2 2 ， BHAB BC26 ，即 BB1 到平面 AA1C1C 的距离为 26 AD33说明：
17、简单的多面体是研究空间线面关系的载体， 而线面垂直关系又是各种关系中最重要的关系， 立体几何中的证明与计算往往都与线面垂直发生联系， 所以在几何体中发现并使用线面垂直关系往往是解题的关键典型例题七7最新 料推荐例 7 斜三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面 ABC 是直角三角形，C90 ，BC2cm ，B1 在底面上的射影D 恰好是 BC 的中点，侧棱与底面成 60 角，侧面 AA1 B1B 与侧面 BB1C1C 所成角为 30 ，求斜棱柱的侧面积与体积分析： B1 在底面 ABC 上射影 D 为 BC 中点，提供了线面垂直B1 D平面 ABC ，另外又有C90 ，即 ACBC ，又可以得
18、到AC平面 BB1C1C ，利用这两个线面垂直关系，可以方便地找到条件中的线面角以及二面角的平面角解： B1 在底面 ABC 上，射影 D 为 BC 中点 B1 D平面 ABC B1 BD 为侧棱 B1 B 与底面 ABC 所成角，即B1 BD60 ，C90 ，即 ACBC ，又 ACB1D ， AC平面 BB1C1C ，过 A 作 AEB1B 于 E ，连接 CE ，则 CEB1B AEC 是侧面 AA1B1B 与侧面 CC1 B1 B 所成二面角的平面角， AEC 30 ，在直角 CEB 中，CEB60 ， BC2 ， CE3 ，在直角 ACE 中，CEA30 ， CE3 ， AC EC
19、tan 30 1， AE2AC 2 ，在直角 B1 DB 中，B1BD60 ， BD1 BC1，2 BB1 2BD2， B1DBB1 sin 603 侧面积为 S侧CE BB1AE BB1 AC AA13 2 1 23 3 2 2 3 3 cm 2 体积为 V S ABC B1 D1 AC BC B1D1 1 233cm3 228最新 料推荐说明： 本例中 ACE 是斜棱柱的一个截面，而且有侧棱与该截面垂直，这个截面称为斜棱柱的直截面， 我们可以用这个截面把斜棱柱分成两部分， 并且用这两部分拼凑在一个以该截面为底面的直棱柱， 斜棱柱的侧面积等于该截面周长乘以侧棱长，体积为该截面面积乘以侧棱长典
20、型例题八例 8如图所示，在平行六面体 ABCDA1 B1C1D1 中，已知 ABAD2a ，AA1a ，又 A1 ADDABA1AB 60 (1)求证： AA1截面 B1 D1C ；(2)求对角面 A1 ACC1 的面积分析：(1)由题设易证 AA1B1D1 ，再只需证 AA1B1C ，即证 CC1CD1 而由对称性知， 若 CC1B1C ，则 CC1CD1 ，故不必证 AA1B1 D1 (2)关键在于求对角面的高证明： (1) B1C1 AD 2a ， CC1 A1Aa ， B1C1CA1AD 60 ，在 B1C1C 中，由余弦定理，得 B1C 23a2 再由勾股定理的逆定理，得C1CB1C
21、 同理可证： C1CCD1 C1C平面 B1 D1C 又 C1C / A1 A ， AA1平面 B1 D1C 解： (2) ABAD ，平行四边形ABCD 为菱形 AC 为BAD 的平分线作 A1O 平面 AC 于 O ，由A1 ADA1 AB ，知 OAC 作 A1MAB 于 M ，连 OM ，则 OMAB 在 RtA1 AM 中， AMA1 A cos601 a ，2在 Rt AOM 中， AOAMsec30a 39最新 料推荐在 Rt A1 AO 中， A1OA1 A2AO 22a 3又在 ABC 中，由余弦定理，得 AC2 3a SA ACCAC A1O2 2a 2 11说明：本题解答
22、中用到了教材习题中的一个结论经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线 如果斜线和这个角两边的夹角相等， 那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线另外，还有一个值得注意的结论就是：如果一个角所在平面外一点到角的两边所在直线的距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上典型例题九例 9如图所示，已知：直三棱柱 ABCA1 B1C1 中，ACB 90 ， BAC30 ，BC， AA16 ，M是 CC1 的中点1求证： AB1A1M 分析：根据条件，正三棱柱形状和大小及 M 点的位置都是确定的， 故可通过计算求出 A1 M 与 AB1 两异面直线所成的角因为 B1C1C1C
23、， B1C1A1C1 ，所以 B1C1侧面 AA1C1C AC1 是斜线 AB1 在平面 AA1C1C 的射影，设 AC1 与 A1M 的交点为 D ，只需证得 MDC 190 即可证明： B1C1 C1C ， B1C1A1C1 ， C1C 与 A1C1 交于点 C1 ， B1C1 面 AA1C1C 10最新 料推荐 M 为 CC1 的中点， MC11 C1C6 22在 Rt A1C1B1 中， B1 A1C130 ， A1B12B1C12 ， A1C13 在 Rt A1C1M 中，A1MMC1A1C16232 232222在 Rt AA1C1 中， AC1AA12A1C1222633 又 M
24、DC 1 A1 DA 且 AA1MC 2 ， MD1 A1M1 3 21 2 ，3322C1D1 AC11 31332在 MDC 1 中， MD 2C1D 21 2123 ，222C1M 263 ，22 C1DM 90 ， A1 MAC1 ， A1M AB1 说明：证明两直线垂直，应用三垂线定理或逆定理是重要方法之一证明过程中的有关计算要求快捷准确，不可忽视 本题证明两异面直线垂直， 也可用异面直线所成的角，在侧面 AA1C1C 的一侧或上方一个与之全等的矩形， 平移 A1 M 或AB1 ，确定两异面直线所成的角，然后在有关三角形中通过计算可获得证明典型例题十例 10 长方体的全面积为 11，
25、十二条棱长度之和为 24，求这个长方体的一条对角线长分析：要求长方体对角线长， 只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可解：设此长方体的长、宽、 高分别为 x 、 y 、 z ，对角线长为 l ，则由题意得：11最新 料推荐2( xyyzzx) 114( xy z)24由得： xyz6 ，从而由长方体对角线性质得：lx 2y2z2( xyz)22( xyyzzx)62115长方体一条对角线长为5说明：(1)本题考查长方体的有关概念和计算， 以及代数式的恒等变形能力 在求解过程中，并不需要把 x 、 y 、 z 单个都求出来，而要由方程组的从整体上导出 x2y2z2 ，这需要同学们掌握一些代数变
26、形的技巧，需要有灵活性(2)本题采用了整体性思维的处理方法，所谓整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式，整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理 整体思维的含义很广， 根据问题的具体要求， 需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对图形作出整体处理典型例题十一例 11如图，长方体ABCDA1B1C1 D1 中， ABa ， BCb ， BB1c ，并且a b c 0 求沿着长方体的表面自 A 到 C1 的最短线路的长分析：解本题可将长方体表面展开，可利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答解：将长方体相邻两个展开有下列三种可能，如图12最新 料推荐三
27、个图形甲、乙、丙中AC1 的长分别为：(ab)2c 2a2b2c22aba2(bc) 2a2b2c22bc(ac)2b2a2b2c22ac abc0 ， ababbc0 故最短线路的长为a2b2c22bc 说明： (1) 防止只画出一个图 形就下结论， 或者以 为长方体的对角线AC1a2b2c2 是最短线路(2)解答多面体表面上两点间， 最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长典型例题十二例 12 设直平行六面体的底面是菱形，经下底面的一边及与它相对的上义面的一边的截面与底面成 60 的二面角，面积为 Q ，求直平行六面体的全面积分析： 如图，由于DD 面 AC 作
28、出截面与底面所成的二面角的平面角D HD 后，因 Rt D DH 中D HD60 ，可分别求出 D D 、DH 和 D H 的值又上下底面的边长是相等的，便可进一步求出全面积解：设平行六面体为ABCDA BC D ，过 D 作 DHAB ， H 为垂足，连结D H DD 平面 ABCD ， D H AB ， D HD60 ， D D3 D H ， DH1 D H 22又在菱形 ABCD 中，有 AD AB BCCD ，13最新 料推荐截面 ABC D 的面积为： S1 D H AB Q 侧面 D DCC 的面积为： S2D D DCD D AB3 D H AB3 Q22底面 ABCD 的面积为
29、： SDH AB1 D H AB1 Q 322所以 S全 4S2 2S3 (2 31)Q 典型例题十三例 13 设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体以上命题中，真命题的个数是（）A 0B 1C2D3解：甲命题是真命题，因为它就是平行六面体的定义；乙命题不是真命题，因为平行六面体的侧棱不一定垂直于底面；丙命题也不是真命题，因为四棱柱的底面不一定是平行四边形应选 B说明：要认真搞清平行六面体、直平行六面体、长方体等特殊四棱柱的有关概念及性质典型例题十四例 14如图， A1B1C1 ABC 是直三棱柱， BCA90 ，
30、点 D1 、 F1 分别是A1 B1 、 A1 C1 的中点若 BCCA CC1 ，则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是（）A 30B 1C 30D 151021510解：可将异面直线所成角转化为相交直线的角， 取 BC 的中点 E ，并连结 EF、 1EA D1F1 1 BCBE ，2 EF1 / BD1 ， EF1A 是 BD1 与 AF1 所成角设 BC2a ，则 CC12a ， CA2a 14最新 料推荐 AB2 2a， AF15a ， AE5a ，EF1BD1B1 B2B1D1 26a cosEF1 AAF12EF12AE 2( 5a)2( 6a)2( 5a)2302AF1EF1
31、25a6a10应选 A说明：本题主要考查棱柱的性质，以及两条异面直线所成的角、勾股定理、余弦定理等内容：对运算能力和空间想象能力也有较高的要求典型例题十五例 15如图，已知 A1B1C1ABC 是正三棱柱， D 是 AC 的中点(1)证明： AB1 / 平面 DBC 1 ；(2)假设 AB1BC1 ，求以 BC1 为棱， DBC 1 与 CBC1 为面的二面角的度数(1)证明： A1 B1C1ABC 是正三棱柱， 四边形 B1BCC1 是矩形连结 B1C 交BC1 于 E ，则 E 是 B1C 的中点连结 DE D 、 E 分别是 AC 、 B1C 的中点， DE / AB1 又 AB1平面
32、DBC 1 ， DE平面 DBC 1 ， AB1 / 平面 DBC 1 (2)解：作 DFBC 于 F ，则 DF平面 BB1C1C ，连结 EF 则 EF 是 ED 在平面 BB1C1C 上的射影 AB1BC1 又 AB1 / ED ED BC1 根据三垂线定理的逆定理，得 EF BC1 15最新 料推荐从而DEF 是二面角 DBC1 C 的平面角，即DEF，设 AC11，则 DC2ABC 是正三角形，在 Rt DCF 中，有DFDC sin 603 ， CFDC cos60144取 BC 的中点 G ， EBEC ， EGBC 在 RtBEF 中， EF 2BF FG而 BFBCFC3 ，
33、 GF1 ，44 EF 2 31 ， EF3 ，444DF3在 Rt DEF 中， tanDEF41EF34 DEF45 ，即45 从而所求二面角的大小为 45 说明： (1)纵观近十年高考题，其中解答题大多都是以多面体进行专利权查，解答此类题，有些同学往往忽略或忘记了多面体的性质，从而解题时，思维受阻今后要引以为戒(2)本题考查空间的线面关系，正棱柱的概念和性质，空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力本题涉及到的知识面宽，有一定的深度，但入手不难，逐渐加深；逻辑推理和几何计算交织为一体；正三棱柱放倒，与课本习题不同，加强了对空间想象能力的考查； 在解答过程中， 必须添加适当的辅助线， 不仅考查了
