1、最新 料推荐二次函数与几何综合典题题例 1已知抛物线y ax2(a0) 的顶点坐标为（，-2），且与 x 轴两交点间的距bx c3离为 4，求其解析式。例 2. 已知二次函数y2(0) 的图像与 x 轴交于不同的两点A、 ，点A在点ax bx c aBB 的左边，与轴交于点C，若 AOC 与 BOC 的面积之和为6，且这个二次函数的图像的顶点坐标为（ 2， -a），求这个二次函数的解析式。例 3. 已知二次函数y2(0) 的图像过点（， ），对称轴为x ，它的图ax bx c aE 231像与 x 轴交于两点 A(x1,0), B( x2 0)且 x1 x2 , x12x2210 。（ 1）求
2、二次函数的解析式；（ 2）在（ 1）中抛物线上是否存在点 P，使 POA 的面积等于 EOB 的面积？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。例 4. 如图，抛物线 y ax2bx c(a0) 与 x 轴、y轴分别相交于（-1， ）、 （， ）、A0 B 30C(0， 3)三点，其顶点为D 。（ 1）求经过 A 、B 、 C 三点的抛物线的解析式；（ 2）求四边形 ABDC 的面积；（ 3）试判断 BCD 与 COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似请说明理由。1最新 料推荐例 5：如图，已知抛物线l1 : yx24 的图像与 X 轴交于 A、 C 两点。（ 1）若抛物线 l 2
3、 与 l 1 关于 x 轴对称，求 l 2 的解析式；（ 2）若点 B 是抛物线 l1 上一动点（ B 不与 A,C 重合），以 AC 为对角线， A ，B ， C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D，求证：点 D 在 l 2 上；（3）探索：当点 B 分别位于 l1 在 x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它们是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。例6.如图，已知：m ， n 是方程 x26x 5 0 的两个实数根，且m n ，抛物线yx 2bx c 的图像经过点 A （ m ，0）、 B（ 0， n ）。（1
4、）求这个抛物线的解析式；（2）设（ 1）中抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为D。试求出点 C、D 的坐标和 BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上一点，过点 P 作 PH x 轴，与抛物线交于H 点，若直线 BC 把 PCH分成面积之比为 2：3 的两部分，请求出P 点坐标。2最新 料推荐答案：1根据题意得：b4a b22 ，2a3 ，4ax1x2( x1x2 ) 24 x1 x2(b )24c4 。联立以上三式得：a1， b3 ，aa2c5。抛物线解析式为：y1 x23x5。222x3 ，又与 x 轴两交点间的距离为另解：由顶点坐标（3， -2 ）可知，对称轴为：4，两交点
5、坐标分别为（1,0）、（ 5,0）。设表达式为ya(x1)( x5)，代入顶点坐标得：2a(31)(35)，解得： a1， y1 x 23x5。2222.顶点坐标（ 2， - a）代入顶点坐标公式得：ya( x2) 2aax 24ax3aa(x24x3)a( x1)( x3) ，（太好了，一箭三雕！） c3a ，点 A 、点 B 的坐标分别为： （ 1,0 ）、（ 3,0 ）， AB =2.3a33a1 ，26 ， a这个二次函数的解析式为yx24x3或 yx 24x3 。3（ 1）由题意知： 34a2bc ，b1，2a又 x1 2x2 2( x1x2 ) 22x1 x2(b )22c10 。
6、aa联立式可得：a1, b2, c 3 ，解析式为：yx22 x3（ 2）存在这样的点P。由（ 1）可知 yx22x3(x3)( x1)( x1)24 ，点 A 的坐标为（1,0 ），点 B 的坐标为（3，0），顶点坐标（1， 4）。设点 P 的坐标为（ t，t 22t3 ），则 POA 的高为t 22t3，底边 OA=1 。 EOB 的底边为 3，高为 3， EOB 的面积 = 1339。令 19221t 22t3，22t 22t39 ， 9 4，t 22t3 =9 ，解得： t113或113。点 P 的坐标为（ 113 ， 9 ）或（ 113 ，9 ） .4 （ 1 ） 设 抛 物 线 的
7、 解 析 式 为 y a( x3)( x 1) ， 代 入 点 C 的 坐 标 （ 0 ， 3 ） 得 ：3a(03)( 01) ，解得： a1 。解析式为 y(x3)( x1)x22x3 。3最新 料推荐（ 2）由（ 1）可知 yx 22x3( x1) 24 ，点 D 的坐标为（ 1,4 ） .作 DE AB ，垂足为 E，则点 E 的坐标为（ 1,0）。四边形 ABDC 的面积 =1（）124 9BDE1 31 3 4。S AOCS梯形 OCDES222（ 3） BCD 与 COA 相似。理由如下：由 A 、B 、C、 D 四点的坐标可得：OA=1 ，CO=3 ， CA=13210；BC=
8、 OC 2OB2323232 ， CD= (43)2122 ，BD= (3 1) 2422 5 。 BDBCCD2 ， BCD COA 。CACOOA5（ 1） l2 与 l1 关于 x 轴对称， y( x24)x 24。（ 2）设点 B 的坐标为（ m, m24 ），四边形 ABCD为平行四边形，点A 、C 关于原点 O 对称， 点 B 和点 D 关于原点 O 对称， 点 D 的坐标为（m,m24 ）。代入 l 2的表达式可知左边等于右边，点D 在 l 2 上。（ 3）点 A 、C 是抛物线 yx24 与 x 轴的交点，点A 、C 的坐标分别为（2,0 ）和（ 2,0）， AC=4. 平行四
9、边形ABCD 的面积 =2ABC的面积= 214 y14 y1 。2当点 B 在 x 轴上方时， S四边形 ABCD4 y1 ， S四边形 ABCD 随 y1 的增大而增大，此时 S四边形 ABCD 既没有最大值也没有最小值；当点 B 在 x 轴下方时， S四边形 ABCD4 y1 ，且 4 y10 ， S四边形 ABCD 随 y1 的增大而减小， S四边形 ABCD 有最大值没有最小值。当y1 取最小值4时， S四边形 ABCD 有最大值，最大值为16；此时点 B 、D 在 y 轴上， AC BD ，平行四边形ABCD 是菱形。综上所述，当点B 在 x 轴下方时，平行四边形ABCD 有最大面
10、积16，此时的四边形为菱形。6（ 1）解方程 x26x 50 得： x1 1, x2 5 ， m n， m 1, n 5 ，点 A 、 B 的坐标分别为（1， 0），（ 0， 5）。把 A 、B的坐标代入 yx 2bxc 得：1 bc 0解这个方程组，得b4, c 5 ，c5抛物线的解析式为yx24x5 。4最新 料推荐（ 2）由（ 1）知 yx24 x5( x2) 29 ，点 D 的坐标为（2，9 ），抛物线对称轴为直线x2 ，点 C 的坐标为（5，0 ）。由点 B 、 C 的坐标可知直线BC 的表达式为 yx5 ，过点 D 直线 DE ，交直线 BC 于点 E（如图1），则点 E 的坐标为
11、（2,3 ），线段 DE=6 ， BCD 的面积 = 1DE ( xBxC )1 6515.22（ 3）如图2，设点 P 的坐标为（ t， 0），则点 H 的坐标为（ t，t 24t5 ），若 HP 与直线 BC 交于点 F，点 F 的坐标为（ t， t+5 ）。若 SHCF : SPCF2 : 3，则 S PCF3S PCH ，51313即PC PFPC PH，(245)，t5t252t252解得：,（5舍去）；若，则，t13t2S HCF: SPCF3 : 2S PCFS PCH2 (3 ,t 25t5t 24t5) ，解得： t1（5舍去）。522 ,0 ）综上所述， 若直线 BC 把 PCH 分成面积之比为2：3 的两部分， 则点 P 的坐标为（3 ,0 ）3或（25
