1、第四节幂级数分布图示函数项级数的一般概念 例 1 例 2 例 3 幂级数的概念 幂级数的收敛域 收敛半径的求法 求收敛域的基本步骤 例 4 例 5 例 6 例 7 幂级数的代数运算 例 8 幂级数和分析运算性质 例 9 例 10 例 11 例 12 内容小结 课堂练习 习题 12-4 返回内容要点一、函数项级数的基本概念；函数项级数在某区域的收敛性问题，是指函数项级数在该区域内任意一点的收敛性问题，而函数项级数在某点x 的收敛问题， 实质上是常数项级数的收敛问题 . 这样，我们仍可利用常数项级数的收敛性判别法来判断函数项级数的收敛性.二、 幂级数及其收敛性 ；阿贝尔定理；n 连续三、收敛半径及
2、其求法 : 根据幂级数的系数的形式，当幂级数的各项是依幂次的时候，可用对其系数应用比值判别法或根值判别法直接求出收敛半径，即有lima n 1或 l in；anm | an |nn如果幂级数有缺项， 如缺少奇数次幂的项等， 则应将幂级数视为函数项级数并利用比值判别法或根值判别法其收敛域；四、 求幂级数an xn 收敛域的基本步骤：n 0（ 1） 求出收敛半径 R.；（2） 判别常数项级数an Rn ,an ( R) n 的收敛性；n 0n0（3） 写出幂级数的收敛域 .五、 幂级数的算术运算：加、减、乘、除；六、 幂级数的分析运算：和函数的连续性；逐项求导公式；逐项积分公式；几何级数的和函数1
3、 x x2xn1 , ( 1 x 1)1 x是幂级数求和中的一个基本的结果 我们所讨论的许多级数求和的问题都可以利用幂级数的运算性质转化为几何级数的求和问题来解决1例题选讲函数项级数的收敛域( 1)n1n例1（ E01）求级数的收敛域 .n1xn 1解由比值判别法| u n 1 (x) |n1( n)1| u n (x) |n 1 |1 x |1 x |(1) 当1|1x |1, 即 x0或 x2 时 ,原级数绝对收敛 .1|1x |(2) 当1|1x |1, 即2x0 时 ,原级数发散 .1|1x |(3) 当 |1x | 1x0或 x2, x0 时 ,级数为( 1)n收敛 ; x2 时，级
4、数为1n 1 nn 1 n发散 ,故级数的收敛域为(, 2)0,).例2 确定级数x nx1的收敛域 .n 1 1 x (1 x2 )1 xn解当 x1 时，级数为1, 此级数收敛 .n 1 2 n当 | x| 1时，记 un ( x)x n, 有 limun 1 (x)limx0,| x | 1(1 x)(1 x2)(1 xn)un ( x)1 xn 1| x |,| x | 1nn由比值判别法知 ,此时级数绝对收敛,故级数收敛 . 因此 ,级数的收敛域为 (,1) ( 1,).例 3（ E02）求级数( nx) n的收敛域 .n 1nnx解因 un( nx) n(1 x/ n) n, 当
5、x0 时， u n1 (n1, 2, 3 ), 级数发散 .n nxn x(最多去掉前 | x |项 ,它不影响级数的收敛性)后为正级数 ,当 x 0时，级数去掉前面的有限项unxnxn xxx而 limlim 1lim1,1 / n xnnennn且 p 级数1 , 当 x1 时收敛 ,x1 时发散 .由比较判别法的极限形式知,n 1 nx题设级数当 x1 时收敛 ,即收敛域为 (1,).求幂级数的收敛域2例 4（ E03）求下列幂级数的收敛域(1)( 1) nx n ;.( 2)(nx) n ;(3)xn . n 1nn 1n 1n!解(1)an 1lim1/( n 1)limn1, 所以
6、收敛半径R1.l i mnann1/ nnn1当 x1 时，级数成为(1) n1 时，级数成为1, 该级数发散 .n, 该级数收敛 ;当 x1 nn1n从而所求收敛域为(1, 1.(2)因为limn | an |lim n,故收敛半径 R0, 即题设级数只在x0 处收敛 .nn1(3)因为an 1lim (n1)!lim10, 所以收敛半径,l i mnann1nn1n!所求收敛域为 (,).2 nn例 5（ E04）求幂级数( 1) nx1的收敛域n 1n2解令 tx1, 题设级数化为( 1)n 2 nn, 因为liman 1lim2n 1n2tann 12n 2,n 1nnn所以收敛半径
7、R1 , 收敛区间为 | t |1, 即 0x1.22当 x0 时，级数成为1 , 该级数发散 ; 当 x1 时 ,级数成为(1)n , 该级数收敛 .n1nn 1n从而所求收敛域为(0, 1.例 6（ E05）求幂级数x2n 1的收敛域 .n 12n解题设级数缺少偶数次幂，此时可直接利用比值判别法:un 1( x)x2n 12 n12limlimx2n 1| x | .nun (x)n2n 12当 1x21 即 | x |2 时，级数收敛 ;2当 1| x |21 即 | x |2 时，级数发散 ,所以收敛半径R2 .23当 x2 时，级数成为1 , 该级数发散 ; 当 x2 时，级数成为1
8、 , 该级数发散 .n 12n 12故所求收敛域为 (2 ,2 ).1xn例7 求函数项级数2的收敛域 .n 1 nx解x2, 原级数变为1tn, 容易求得级数1tn的收敛域为1 t 1, 即令 txn 1 n1 nnx21, 解此不等式得 x1,所以原级数的收敛域为 1,).1x幂级数的运算例 8（ E06）求幂级数(1)n1nxn 的收敛域 .n1n4解从例 4 的 (1)知 ,级数(1) n xn 的收敛域为 ( 1, 1. 对级数1 xn, 有n1nn 1 4 nan1lim14n1limn 1.nann414所以 ,其收敛半径为4.易见当 x4 时，该级数发散 .因此级数1n的收敛域
9、为 ( 4, 4).1 4 n xn由幂级数的代数运算性质，题设级数的收敛域为( 1, 1.求幂级数的和函数，分析运算性质的应用例 9（ E07）求幂级数(1)n 1xn的和函数 .nn1解由例 4(1)的结果知，题设级数的收敛域为(1, 1, 设其和函数为 s(x), 即s( x) xx2x3x 4( 1) n 1 xn234n显然 s(0)0, 且 s (x) 1xx2(1) n1 xn11(1x1),1xxs( x)s(0), 得由积分公式s ( x) dx0s( x)s(0)xs ( x)dxx1dxln(1 x),0 10x因题设级数在 x1 时收敛，所以(1) n1xnln(1)1
10、x1).nx (n14例 10（ E08）求幂级数(n 1) 2 xn 的和函数 .n 0解因为an 1(n2)21，故题设级数的收敛半径R=1 ，易见当 x1 时，题设an(n1) 2级数发散，所以题设级数的收敛域为(1, 1), 设 s(x)( n1)2 xn ( |x |1), 则n0x( n 1)xn1x( xn 1)xxn 1xx,0 s(x)dxx(1 x) 2n 0n0n 01 x在上式两端求导，得所求和函数1xs( x)(1x) 3 (| x |1).例 11求级数11111的和 .2.323.334.34n.331.3解所求级数的和是幂级数xn当 x1 时的和 .设 s(x)
11、xnx 1,1), 逐项求导 ,n 1n3n 1n得 s ( x)xn 11x(1,1), 两边积分 ,得n 11xxx1dxln(1x), 即 s(x)s(0)ln(1x).0 s( x)dx01x又因 s(0)0, 所以 s(x)ln(1x), 故所求原级数的和为s1ln 11333ln .2例 12求幂级数(1)n1x2 n 的和 .n 1 ( 2n1)解设 S(x)(1)n1x2 n ( |x |1), 则n 1 n( 2n1)S ( x)( 1)n 1x2n2 ( 1) n 1 x2n 1,n 1 n(2n 1)n12n1S (x)2 ( 1) n 12n 1n 1 2n 22462
12、2 n 1xn 1 2 ( 1)x2 2x2x2 x1 x 2 (| x | 1).n 1将上式两端对x 积分 ,得5xx22 dxS (x)S (0)S (x)dx001x由 S (0)0, 得 S ( x)2 arctan x, 两端积分得S( x) S( 0)xxS ( x)dx2 arctan xdx002 xarctan xxxxdx2x arctan x ln(100 1x 2由 S(0)0, 得2 arctan x.x 2 ) ( | x |1),S( x)2x arctan xln(1x2 )即(1)n1x2n2 arctanxln(1x2).n 1 n(2n1)x课堂练习1.
13、幂级数逐项求导后, 收敛半径不变,那么它的收敛域是否也不变 ?2.求所给幂级数的收敛域 :2n 1( x1) n ;n 1n 1xn的和函数 .3. 求幂级数n 0 n1阿贝尔 （Abel,Nicls Henrik ， 18021829）阿贝尔挪威数学家，1802 年 8 月 5 日生于挪威芬岛； 1829 年 4 月 6 日卒于挪威弗鲁兰。阿贝尔出身贫困，未能受到系统教育，启蒙教育得自于他的父亲。1813 年，年仅 13 岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会学校学习。起初，学校里缺乏生机的教育方法没有引起他对数学的兴趣。 15 岁时，他幸运地遇到一位优秀数学教师，使他对数学产生了兴趣。阿贝尔迅速学
14、完了初等数学课程。然后，他在老师的指导下攻读高等数学，同时还自学了许多数学大师的著作。 1821 年秋，阿贝尔在一些教授资助下进入了奥斯陆大学学习。1825 年大学毕业后，他决定申请经费出国，继续深造和谋求职位。在德国他结识了一位很有影响的工程师A.L. 克雷尔，在阿贝尔及朋友的赞助下，克雷尔于1826 年创办了著名的数学刊物纯粹与应用数学杂志，后被称为克雷尔杂志。它的第一卷刊登了7 篇阿贝尔的文章，克雷尔杂志头三篇共发表了他的22 篇包括方程、无穷级数、椭圆函数等方面的开创性论文。从此，欧洲大陆数学家才开始注意他的工作。1826 年 7 月，阿贝尔从柏林来到巴黎，遇见了勒让德和柯西等著名数学
15、家，他写了一篇题为“关于一类广泛的超越函数的一个一般性质”的文章，于1826 年 10 月 30 日提交给法国科学院， 不幸未得到重视，当时科学院的秘书傅里叶读了论文的引言，然后委托勒让德和柯西对论文作出评价，柯西是主要负责人，这篇论文很长而且难懂，因为它饱含了许多新概念。柯西把它放在一边，醉心自己的工作。勒让德也把它忘记了。事实上，这篇论文直到阿贝尔去世后的 1841 年才发表。1826 年底，阿贝尔回到柏林。不久，他染上了肺结核，克雷尔帮助了他，请他担任克雷尔杂志的编辑，同时为他谋求教授职位，但未获得成功。1827 年 5 月 20 日，阿贝尔回到奥斯陆。回国后更失望，仍然没有找到职位的期
16、望，他6不得不靠作家庭教师维生。在贫病交迫、 茹苦含辛的逆境中，他并滑倒下去， 仍然坚持研究，取得了许多重大成果。他定下了一系列关于椭圆函数的文章，发现了椭圆函数的定理、双周期性，并引进了椭圆函数的反演。正是这些重大发现才使欧洲数学家们认识到他的价值。1828年 9 月，四名法国科学院院士上书给挪威国王，请他为这位天才安排一个合适的职位。勒让德在 1829 年 2 月 25 日科学院会议上，也对阿贝尔及其工作大加称赞。同年 4 月 6 日，阿贝尔怀着强烈的求生欲望和继续为科学事业做贡献的理想，在病魔侵袭的忧伤中， 与世长辞了。就在他去两天后， 克雷尔来信通知他已被柏林大学任命为数学教授。此后荣誉和褒奖接踵而来， 1830 年 6 月 28 日，他和雅可比共同获得了法国科学院大奖。7
