1、悬链线方程的推导悬链线方程的推导一根无比柔软的绳子,两固定 ,自然静止状态下,它的形状就是悬链线。其实曲线就是以绳子命名的。如何根据绳子的受力来推导出悬链线方程呢？用高等数学所学的知识就够了。第一步 :背景知识我们熟悉如何将sin(n) 转化成余弦的形式,口诀就是奇变偶不变,符号瞧象限。2现在扩展一下,研究正切、余切,正割、余割的转化口诀。tanxcotx 转换 :奇变号变偶不变。也就就是说 ,n 为奇数时 ,要转化成相反形式,且要补一个负号 ,n 为偶数时就不用变了。secxcscx 转换 :奇变偶不变 ,符号瞧象限。我正弦、余弦非常相似。不定积分dxdxsec2 x d xd tan xx
2、cscxdx222ln tansin xxxxxC2 sincostantan22222ln cscxcot xCdxd( x)secxdx2ln csc(x)cot( x)Ccosxsin(x)222ln secxtan xC求dx,令 xa tant ,tx2a222a sec2 tdtsectdtln sect tant Ca2 tan2 ta2lnx2a2xC ln( xx2a 2 ) C1a aC1 C ln a双曲余弦exexexe xy2chx双曲正弦 yshx2悬链线方程的推导反双曲余弦x0 时 , xln( yy 2 1)archy ;反双曲正弦xln( y1 y2 )ars
3、hy ;( shx)chx求导 :( chx)shx第二步 :微分方程平衡方程 :Tsings0,TcosH0,解得 :gss1tanayHax2 dx, aH1 y0g边界条件 :x=0y=a; x=0y=0 。求解微分方程悬链线方程的推导1y2,令y，则dp1p2y1py1adxadp1 dx1p2adp11p2dxa解得 : ln( pp21)1xC11 xaarshpC1a把p x0 0代入，得 C10,arshp1xap sh( 1 x) adysh( 1 x)dxadysh( 1 x)dxa sh( x )d xaaadyash( x) d xa ch xC2 yaaa把y x 0a代入，得xxC20, ya chxeae aaa2
