1、Lecture 3 远期与期货定价,2018/3/21,1/37,远期价格与期货价格,远期价值和交割价格交割价格是远期合约或者是期货合约中规定的未来交易价格；远期价值是指远期合约本身的价值。在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选择的交割价格应使远期价值在签署合约时等于零。 在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化，多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。,2018/3/21,2/37,远期价值、远期价格和期货价格,远期价格是令远期合约价值为零的交割价格。远期价格是一个理论价格，它与远期合约在实际交易中形成的实际交割价格并不一
2、定相等。如果信息是对称的，远期合约双方所选择的交割价格应使合约的价值在签署合约时等于零。对金融工具的定价，实际上都是指确定其理论价格。一旦理论远期价格与实际价格不相等，就会出现套利机会。,2018/3/21,3/37,远期价格和期货价格的关系,远期与期货合约唯一的区别是交易机制的不同。斯蒂芬.罗斯（Ross）等证明，当无风险利率恒定时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就不相等。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。相反，当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。,2018/3/21,4/37,总的来看，差异可以忽略
3、不计，Cornell和Reinganum（1981）、Park和Chen（1985）估计外汇期货和远期之间的合理差价时，都发现盯市所带来的收益太小了，以至于在统计意义上，远期和期货价格之间并没有显著的差别。大多数情况下，仍可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并都用F来表示。因此，远期和期货合约适用于相同的定价分析。,除了利率的影响之外，合约有效期的长短、税收、交易费用、保证金的处理、违约风险、流动性等方面的因素都会导致差异。,远期价格和期货价格的关系,2018/3/21,5/37,远期与期货的定价,符号约定t：当前时间，单位为年。 T：远期/期货合约的到期时间，单位为年。S：标的资产在时间t
4、时的价格。K：远期/期货合约中的交割价格。F：远期/期货合约中标的资产的理论远期价格。f： 远期/期货合约多头在t时刻的价值。r： t时刻的以连续复利计算的无风险年利率。,2018/3/21,6/37,回顾无套利定价原理,2018/3/21,7/37,若合约实际报价高于理论价格，套利者就可以通过买入标的资产现货、卖出远期并等待交割来获取无风险利润，从而促使现货价格上升、远期交割价格下降，直至套利机会消失，这种套利方式为正向套利（cash-and-carry arbitrage）；若实际报价低于理论价格，套利者就可以通过卖空标的资产现货、买入远期来获取无风险利润，从而促使现货价格下降，远期交割价
5、格上升，直至套利机会消失、远期理论价格等于实际价格，这种套利方式称为反向套利（reverse cash-and-carry arbitrage）。,无风险套利机制,2018/3/21,8/37,无收益资产远期期货合约的定价,无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产，如贴现债券。,构建组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔现金，数额 为Ke-r（Tt）；组合B：一单位标的资产。,远期合约到期时，两种组合都等于一单位标的资产，因此当前的现值必须相等，即： f+Ke-r（Tt）=S 则： f=SKe-r（Tt）,2018/3/21,9/37,两种理解“f=S-Ke-r（Tt）” ：,无收益资产远期
6、合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值之差。一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和Ke-r（Tt）单位无风险负债（空头）组成。,2018/3/21,10/37,现货-远期平价定理,令f=S-Ke-r（Tt）” =0，则有： K=Ser（Tt） 远期价格：（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K） F=Ser（Tt）无收益资产的现货-远期平价定理：对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。,2018/3/21,11/37,正、反向无风险套利讨论,运用无套利原理对无收益资产的现货-远期平价定理的反证假设FSer（Tt），即交割价格大于现货价格的终值。t时
7、刻，套利者按无风险利率r借入期限为Tt的S现金。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份交割价格为F的标的资产远期合约；T时刻，套利者将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Ser（Tt），获取FSer（Tt）的无风险收益。若F(S-I)er(T-t)，即交割价格高于理论价格。,T时刻，套利者将标的资产交割，得到现金收入F，同时，（T-t）期间从标的资产获得的现金收益的本利收入到T时刻为Ier(T-t)；T时刻，套利者需要还本付息Ser(T-t)。,t时刻，套利者可以卖出一份交割价为F的远期合约，借入现金S，并买入标的资产。,套利者取得无风险利润：=F+Ier(T-t)-Ser(T-
8、t) =F-(S-I)er(T-t),2018/3/21,18/37,支付已知收益率的资产,支付已知收益率的资产到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产。外汇是已知收益率资产的典型代表，外汇的收益率就是外汇发行国的无风险利率；股价指数可近似地看作是支付已知收益率的资产。,已知收益率资产的远期/期货合约：远期利率协议：本国的无风险利率外汇远期和期货：外汇发行国的无风险利率股指期货：市场整体水平的红利率,2018/3/21,19/37,支付已知收益率资产远期合约的定价,建立组合：组合A：1份远期合约多头+一笔数额为Ke-r（Tt）的现金；组合B：e-q（Tt）单位证券（并且所有现金收入都
9、再投资于该证券，q为资产的已知收益率）。T时刻，组合A的价值等于一单位标的证券；组合B拥有的证券数量随着获得收益滚动增加。T时刻，组合B 的价值正好等于一单位标的证券。T时刻A、B价值相等，则t时刻两者的价值也应相等，即：,2018/3/21,20/37,即：支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。,支付已知收益率资产现货远期平价公式,根据支付已知收益率资产现货-远期合约的定价公式，及远期价格F的定义：令f=0，求得：,A股票的市场价格是25美元，年均红利率为4，该股票6个月的远期合约的交割价格为27美元，若无风险利率为10，求该远期合约的价值
10、及理论价格。,例 题,远期合约的理论价格为：,根据远期合约的价值公式：,2018/3/21,22/37,远期与期货价格的一般结论（完美市场）,假如标的资产无收益，投资者计划出售一单位标的资产，采取以下两种方法应当等价：在当前t时刻卖出一份远期价格为F的远期合约，合约到T时刻交割必定能获得F；在当前t时刻立刻出售获得S，并以无风险利率r贷出，这样在T时刻可以获得确定性收入。t时刻两种投资的价值都为S，T时刻的两种确定性收入应相等：如果实际价格高于或低于上述理论价格F，市场上就存在套利机会。,2018/3/21,23/37,持有成本I,持有成本（Cost of Carry）= 保存成本+ 利息成本
11、 标的资产在合约期限内的收益远期和期货定价中的持有成本（ c ）概念：,23,2018/3/21,24/37,非完全市场上的定价公式,2018/3/21,25/37,若存在交易成本：假定每一笔交易的费率为Y，那么不存在套利机会的就不再是确定的值，而是一个区间：,验证下限，若K K，则明显可以套利：履行远期合约，购得标的资产并归还后，剩余套利：= S(1-Y)er(T-t) -K因此，若要无套利成立，则：S(1-Y)er(T-t)S(1+Y)er(T-t) ：t时刻：卖出一份交割价格为K的远期合约，同时借入现金(SY)，并购买一单位标的资产（其中SY是交易费用）。T时刻：K S(1+Y)er(T
12、-t)，则明显可以套利：履行远期合约，卖出标的资产，收到支付K，然后归还借款的本息和S(1+Y)er(T-t)，仍有套利盈余：= K-S(1+Y)er(T-t)因此，若要无套利成立，则：KS(1+Y)er(T-t),最终，若存在交易成本，不存在套利机会的远期价格应取值于：,2018/3/21,27/37,假如借贷存在利差：如果用 表示借入利率，用 表示借出利率，对非银行的机构和个人，一般是 。这时远期和期货的价格区间为：,验证下限，若KK，则明显可以套利。因此，若无套利，则：Serl（T-t）Serb（T-t） ：t时刻：借入现金S购买一单位标的资产，同时持有一份交割价格为K的远期合约空头。T时刻：若K Serb（T-t），则明显可以套利。因此，若无套利，则： K K ：t时刻：买入一份交割价格为K的远期合约，同时借入一单位标的资产并变现S(1-X)（即卖空）。T时刻：由于S(1-X)er(T-t)K，则必然能够套利。因此，若要无套利成立，则：S(1-X) er(T-t)r， FE(ST) 。在现实生活中，大多数标的资产的系统性风险都大于零，因此在大多数情况下，F都小于E(ST)。,2018/3/21,37/37,To be continued,
