1、页眉函数 研究对象本章内容极限 研究方法分析基础连续 研究桥梁1 函数本节内容 :一、邻域二、函数的概念三、基本初等函数四、复合函数1 / 211页眉五、初等函数一、邻域1. 定义 1: 设 aR,R , 则U (a,)x | xa |(a,a)点 a 的邻域a U (a,) 的中心 ,U (a,) 的半径 .2 / 212页眉2. 定义 2:oU (a,)x 0| xa |(a,a) U (a,a)点 a 的去心邻域二、函数的概念f 定义在 D 上的函数 ;D 定义域 ;x 自变量 ;y 因变量 ;3 / 213页眉f ( x0 ) x0 处的函数值 ;Wy yf ( x ), xD 值域
2、.注意 : 函数的两个要素 定义域和对应法则 .补例 1 求下列函数的定义域 .(1) y1;(2) y ln1 .x21x2三、基本初等函数基本初等函数指下列5 类:幂函数yx (是常数 )4 / 214指数函数对数函数三角函数反三角函数(一) 幂函数页眉ya x (a是常数 , a0,a1)yloga x (a是常数 ,a0, a 1)ysin x, ycos x, ytan x, y cot x,ysecx, ycsc xyarcsin x , yarccos x , yarctan x, yarccot x1. 幂函数的定义 :yx(R)5 / 215页眉2. 幂函数的图形与性质 :y
3、yx3yx21O 1x图 1-1y11yxO1x图 1-2(a) 取不同值 , 幂函数的定义域与值域均可能不同 ;(b) 对任意, 函数图形都过点 (1,1); 当0时, 图形过点 (0,0) 和(1,1) ;6 / 216页眉(c) 当0时, 幂函数在 (0,) 为单调递增函数 ;而0时, 幂函数在 (0,) 为单调递减函数 ;(d) 幂函数为无界函数 .3. 幂函数的运算性质 :(a)(b)(c)(d)aaa;aaa;(a)a;(ab)ab .(二) 指数函数7 / 217页眉1. 指数函数的定义 :ya x (a0, 且a1; xR)2. 指数函数的图形与性质 :(a) 定义域为 R,
4、值域为 R ;(b) a不论取何值 , 函数图形都过点 (0,1) ;yy2x(c) 当 a1时 , 指数函数为单调递增函数 ,1y1x( 2 )而 0a1时, 指数函数为单调递减函数 ;O1x图 1-3(d) 指数函数为无界函数 ;(e) 指数函数是非奇非偶函数 .8 / 218页眉3. 指数函数的运算性质 :与幂函数的运算性质相似, 略.(三) 对数函数1. 对数函数的定义 :ylog a xa0, 且a1; x(0,)其中 a 底数 .y一种特殊对数 : y ln x .xy log 212. 对数函数的图形与性质 :O1x(a) 定义域为 R , 值域为 R ;y log 1x2图 1
5、-49 / 219页眉(b) a 不论取何值 , 函数图形都过点 (1,0) ;(c) 当 a 1时 , 对数函数为单调递增函数 ;而 0 a 1时, 对数函数为单调递减函数 ;(d) 对数函数为无界函数 ;(e) 对数函数是非奇非偶函数 .3. 对数函数的运算性质 :(a) loga (uv)loga uloga v ;(b)uloga v ;log a vloga u10 / 2110页眉(c) loga uvv loga u ;(d) log a xln x .ln a(四) 三角函数1. ysin x, ycos x :ysin x 正弦函数 ;ycos x 余弦函数 .11 / 21
6、11页眉y sin x, ycos x 的图形与性质 :ysin xyy1y cos x1x2x2OO2121图 1-5(a) 定义域均为 R, 值域均为 1,1;(b) y sin x , y cosx 均为非单调函数 ;(c) ysin x, ycos x 均为有界函数 ;(d) ysin x 为奇函数 , ycosx 为偶函数 ;12 / 2112页眉(e) ysin x, ycos x 均为周期函数 .2. ytan x, ycot x :ytan x 正切函数 ;ycot x 余切函数 .ytan x , ycot x 的图形与性质 :yytan xyycot x2O23xOx222
7、图 1-613 / 2113页眉(a) y tan x 定义域为 R ( k 1 ) , y cot x 定义域为 R k , 2值域均为 R ;(b)(c)(d)ytan x, ycot x 均为非单调函数 ;ytanx , ycotx 均为无界函数 ;ytan x, ycot x 均为奇函数 ;(e) y tan x , y cot x 均为周期函数 .3. ysecx, ycscx :y secx1 正割函数 ;cosx14 / 2114页眉ycscx1 余割函数 .sin x(五) 反三角函数1. yarcsin x, yarccos x :yarcsin x 反正弦函数 ;yarcc
8、os x 反余弦函数 .yarcsin x , yarccos x 的图形与性质 :15 / 2115页眉yyyarcsin x2yarccos x1O1x221 O1x图 1-7(a) yarcsin x, yarccos x 定义域均为 1,1,yarcsin x 的值域为 2,2, yarccos x 的值域为 0, ;(b) yarcsin x, yarccos x 均为单调函数 ;16 / 2116页眉(c) y arcsin x , y arccos x 均为有界函数 ;(d) y arcsin x 为奇函数 , y arccos x 为非奇非偶函数 .2. yarctan x,
9、yarccot x :yarctanx 反正切函数 ;yarccot x 反余切函数 .yarctan x, yarccot x 的图形与性质 :17 / 2117y页眉arctan xyy2yarccot x1O 1x21O1x2图 1-8(a) yarctan x, yarccot x 的定义域均为 R ,yarctan x 的值域为 (2,2) , yarccot x 的值域为 (0,) ;(b) y arctan x, y arccot x 均为单调函数 ;(c) y arctan x , y arccot x 均为有界函数 ;18 / 2118页眉(d) y arctan x 为奇函
10、数 , y arccot x 为非奇非偶函数 .四、复合函数设 yln u , utan x , 则 yln(tan x) .1. 定义 : 设有函数链yf (u), uD1u ( x ), x D2 , 则且 ( D2 ) D1函数 yf ( x) 称为由 yf ( u) 及u ( x) 复合而成的 复合函数 , 其中 u 称为中间变量 .19 / 2119页眉2. 写出下列复合函数的复合过程 , 并求其定义域 .(1) yarctan( x 2 ) ;(2) ysin( x2 ) ;(3) y(sin x )2 .五、初等函数1.定义 : 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数叫做初等函数 . 如:y sin x ln x , y11, y ln1 ,.x2x2思考题 : y| x |是否是初等函数 ?小结 :20 / 2120页眉邻域的定义 ;函数的定义及定义域 ;五类基本初等函数的图形与性质;复合函数的定义与复合函数的分解;初等函数的定义 .21 / 2121
