1、高中竞赛常用的不等式1柯西不等式 ，)()( 2n212n212n21 bbaabab 其中等号成立条件为 。n21附：给出大家可能没见过的证明:对于一元二次方程 0)()(2)( 2n21n21n21 bbxabaxa 等价于 ，0()221 b该方程最多只有一个解，判别式小于等于 0，即，0)(4)(4 2n212n212n21 bbaaa 得证，且等号成立条件， 。nbb212四个平均的关系：平方平均 ，算术平均 ，几何naaQn2n21 naaAnn21平均 ，调和平均 。nnG21 nnaaH21满足关系： ，其中等号成立条件为 。nnGAQ na21调和平均不常用。3排序不等式（排
2、序原理）：设有两个有序数组： ， ，则有naa21 nbb21112121 21 baabba njjjn n （同序和） （乱序和） （逆序和） 。其中 是 1,2, 的一个排列。njj,21 n4切比雪夫不等式：若 ， ，则有naa21 nbb21。nbban 21附：切比雪夫不等式其实是排序不等式的应用。5关于凸函数的琴生不等式：的二阶导数 ，则 为下凸函数； 的二阶导数 ，)(xf 0)(xf)(xf )(xf 0)(xf则 为上凸函数。凸函数有琴生不等式性质：若 在区间 为下凸函数，则对 ，)(xfI Ixn,21总有 ；ffxfnfn )()()21 若 在区间 为上凸函数，则对 ，)(xfI Ixn,21总有 。ffxfnfn )()()21 附：应用 ，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式2)(xf，等号成立条件 。2213221 )(nnaaa naa21而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的，等号成立条件 。221221)( nnaaa naa21
