1、1。已知双曲线 ，则20452yx（1）中心坐标为 顶点坐标为 焦点坐标为 （2）准线方程为 渐近线方程为 离心率为 （3）P 点在双曲线上，P 到一个焦点的距离是 3，则P 到两准线的距离是 2平面内动点 P 到两定点 的距离差的绝对值是常数21,F2a，则动点 P 的轨迹方程为（ ） A。双曲线 B。双曲线或两条射线 C。两条射线 D。椭圆3双曲线的两个焦点分别为（0，-5） 、 （0，5） ，离心率是 ，则双曲线的方程为 2例题分析：例 1 （1） 。设双曲线 的半焦距是 c，)0(12babyax直线 过 和 两点。已知原点到直线 的距离为 ，l)0,(a),(bl43则双曲线的离心率
2、为 。（2） 。双曲线 上有点 P， 是双曲线的焦点，1962yx 21,F且 ，则 的面积为 321PF21PF例 2过点 P（8，1）的直线与双曲线 相交42yx于 A、B 两点，且 P 是线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程。例 3已知直线与双曲线交于 A、B 两点， （1）若以AB 为直径的圆过原点，求实数 的值；（2）是否存在a这样的实数 ，使 A、B 两点关于直线 对称？若存a xy在，请求出 的值，若不存在说明理由。例 4直线 与双曲线 的左支交于 A、B1kxy12yx两点，直线 经过点（-2，0）和 AB 的中点，求直线 在l l轴上截距 的取值范围。yb巩固练习：1、已
3、知：F 1，F 2 是双曲线 的左、右焦点，过12byaxF1 作直线交双曲线左支于点 A、B，若 ，ABF 2mA的周长为（ ）A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m2已知双曲线 上一点 M 的横坐标为 4，则点1692yxM 到左焦点的距离是 3 双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 4关于 的方程 有解，则 的取值范围31)(2xk k是（ ）A. B. 35,(35,2C. D. ,2)1),1()(1C 2。 3。4 4提示：利用图形 9yA(-1,3)2xO课外作业：1如果双曲线 =1 上一点 P 到右焦点的距离等于123yx,那么点 P 到右准线的距离
4、是3(A) (B) 13 (C)5 (D)5 1352直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个，则 k= 3ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= sinA, 则点53A 的轨迹方程为 。4。已知直线 l 和双曲线 及其渐近线的交)0,(12bayx点从左到右依次为 A、B 、C、D 。求证： 。CDAB思考题 1：已知 x2+y2=1，双曲线(x-1) 2-y2=1，直线同时满足下列两个条件：与双曲线交于不同两点；与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线方程。思考题 2：已知双曲线 G 的中心在原点，它的渐近线与圆 相切过点
5、作斜率为 的直线 ，10xy4,0P14l使得 和 交于 两点，和 轴交于点 ，并且点 在线段lG,AByCP上，又满足 AB2PC（）求双曲线 的渐近线的方程；（）求双曲线 的方程；G（）椭圆 的中心在原点，它的短轴是 的实S G轴如果 中垂直于 的平行弦的中点的轨迹恰好是 的l渐近线截在 内的部分，求椭圆 的方程S1分析：选择适当的直线方程形式，把条件“是圆的切线”“切点 M 是弦 AB 中点”翻译为关于参数的方程组。法一：当斜率不存在时，x=-1 满足；当斜率存在时，设：y=kx+b与O 相切，设切点为 M，则|OM|=1 1k|b2 b 2=k2+1 由 得：(1-k 2)x2-2(1
6、+kb)x-b2=01y)x(k2当 k1 且0 时，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则中点 M（x 0，y 0） ， 20221 kb,k)b(x y 0=kx0+b= 2kb M 在O 上 x 02+y02=1 (1+kb) 2+(k+b)2=(1-k2)2 由得： 或 32bk32bk ： 或x3yy法二：设 M（x 0，y 0） ，则切线 AB 方程 x0x+y0y=1当 y0=0 时，x 0=1，显然只有 x=-1 满足；当 y00 时， 0y1xy代入(x-1) 2-y2=1 得：(y 02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0 y 02+x02=1 可进
7、一步化简方程为：(1-2x 02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0由中点坐标公式及韦达定理得： 200x1x即 2x03-x02-2x0+1=0解之得：x 0=1(舍)，x 0=21 y 0= 。下略23评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点” ）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。2分析：（）设双曲线 的渐近线的方程为： ，则由渐Gykx近线与圆 相切可得： 2102xy251k所以， k双曲线 的渐近线的方程为： G12yx（）由（）可设双曲线 的方程为： G24ym把直线 的方程 代入双曲线方程，整理得
8、l14yx2381640xm则 （）164, 33ABABmxx ， 共线且 在线段 上，2PC,PPAB ，2ABCxxx即： ，整理得：416A4320ABAxx将（）代入上式可解得： 所以，双曲线的方28m程为 2187xy（）由题可设椭圆 的方程为： 下S21278xya面我们来求出 中垂直于 的平行弦中点的轨迹Sl设弦的两个端点分别为 ， 的中点为12,MxyNM，则0,Pxy2128xya两式作差得：1212121208xxyya由于 ， ，所以， ，124yx120120,xy0248xya所以，垂直于 的平行弦中点的轨迹为直线 截在l 2椭圆 S 内的部分又由题，这个轨迹恰好是
9、 的渐近线G截在 内的部分，所以， 所以， ，椭圆 S 的21a256a方程为： 21856xy一、选择题1、设 F1 和 F2 为双曲线 x2/4y 2=1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足F 1PF2=90，则F 1PF2 的面积是（ ） 。A、1； B、 ； C、2； D、 。/5 52、 （96 ）设双曲线 x2/ a2y 2/ b2 = 1（0ab）的焦半距为 c，直线 L 过（a ，0） ， （0，b） ，已知原点到直线 L 的距离为 c/4，则双曲线的离心率为（ ） 。3A、2； B、 C、 D、3、双曲线 x2/ a2y 2/ b2 = 1 的两条渐进线互相垂直，则双曲线的
10、离心率是（ ） 。A、 ； B、2； C、 D、3/2。34、如果双曲线的两条渐进线的方程是 y =3x/2，焦点坐标是（ ，0）和（ ，0） 。2626那么两条准线的距离是（ ） 。A、8 /13； B、4 /13； C、18 /13； 2626D、9 /13。5、若双曲线过点（6， ） ，且它的两条渐进线的方程是 y=x/3，那么双曲线的方程是3A、4x 236y 2=144； B、9x 281y 2=729； C、x 29y 2=9； D、3x 218y 2=54。6、双曲线 3mx2my 2= 3 的一个焦点是（ 0，2） 。则 m 的值为（ ） 。A、1； B、1； C、 /2； 1
11、0D、 /2。07、双曲线 y2/4x 2/5=1 的共轭双曲线的离心率是（ ） 。A、4/3； B、3 /5； C、 /5 ； D、3/2。558、双曲线的焦点是 F1（9，0） ，F 2（9，0） ，离心率是 3/2，P 是双曲线上一点，则|PF1|PF 2|=（ ） 。A、6； B、8； C、10； D、12。9、双曲线的两个焦点是椭圆 x2/100y 2/64=1 的两个顶点，双曲线的两条准线经过这个椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（ ） 。A、x 2/60y 2/30=1； B、x 2/50y 2/40=1； C、x 2/60y 2/40=1； D、x 2/40y 2/30=1。1
12、0、双曲线 4x2+ty2=1 的虚轴长是（ ） 。 （A ）2 （B）2 （C）2 （D）2tt1t。1t11、双曲线 (a0, b0)的离心率 e , 2，令双曲线两条渐近线构成的角中，12yx 2以实轴为角平分线的角为 ，则 的取值范围是（ ） 。A、 , ； B、 , ； C、 , ； D、 , 。63233212、椭圆 与双曲线 有公共焦点，则椭圆的离心率为（ ） 。21xyab21xyabA、 ； B、 ； C、 ； 353 63D、 。0613、设 F1 和 F2 是双曲线 y 2=1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足F 1P F2=90，4x则F 1P F2 的面积是（
13、） 。 A、1 ； B、 5/2； C、2； D、 5。14、已知 F1 (8, 3), F2(2, 3)，动点 P 满足| P F1|P F2|=2a，当 a=3 或 5 时，点 P 的轨迹是（ ） 。A、双曲线和一条直线； B、双曲线和一条射线；C、双曲线的一支和一条直线； D、双曲线的一支和一条射线。15、若椭圆 (mn0)和双曲线 (a0, b0)有相同的焦点 F1, F2，点 P21xy21xy是两条曲线的一个交点，则|P F1|P F2|的值为（ ） 。A、ma ； B、 (ma)/2； C、m 2a 2 ； D、。二、填空题16、双曲线 的焦点坐标是 。214xyk17、过定点(
14、3, 0) 且与圆(x+3) 2+y2=16 外切的动圆圆心 P 的轨迹方程是 。18、已知双曲线 的焦点为 F1, F2，弦 AB 过 F1 且在双曲线的一支上，若2ab|AF2|+|BF2|=2|AB|，则|AB |等于 。19、过双曲线 (a0, b0)的左焦点 F1 的直线交双曲线的左半支于 A,B 两点，21xyab|AB|=m, 右焦点为 F2，则ABF 2 的周长是 。20、 （91 ）双曲线以直线 x = 1 和 y = 2 为对称轴，如果它的一个焦点在 y 轴上，那么它的另一个焦点的坐标是 。21、 （92 ）焦点为 F1（2，0）和 F2（6，0） ，离心率为 2 的双曲线
15、的方程是 。22、过双曲线 x24y 2=4 的焦点 F1 的弦 AB 的长度为 5，F 2 为另一个焦点，则ABF 2 的周长为 。23、焦点是（2，2） ， （2，8） ，实轴长是 6 的双曲线的渐进线方程是 。24、双曲线以 x=1 和 y=2 为对称轴，如果它的一个焦点在直线 y=x 上，则另一个焦点坐标是 。25、在双曲线 的一支上有不同的三点 A(x1, y1), B( , 6), C(x3, y3)与焦点 F 间的23yx26距离成等差数列，则 y1+y3 等于 。三、解答题26、双曲线 x2y 2=1 的左、右顶点分别为 A 和 B，点 P 是双曲线上不同于 A, B 的任意点
16、，求证：|PBAPAB | = /2。27、证明：双曲线 上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值。21(0,)ab答案：一、选择题：AAAAC BBDCD CCADC.二、填空题：16、 ； 17、 （右支） ；(0,4)k2145xy18、4a；19、4a+2m；20、 （2 ，2） ；21、 ；22、18；23、3x-4y-18=0 与2()3x+4y+6=0；24、 （4，2）或（1，5） ；25、12三、解答题：26、证明PAB 的补角与 PBA 之和为 900。 27、定值为 。2ab例 1 已知动圆 P 过定点 A(3,0)，并且在定圆B：( x3) 2 y264 的内部与其相
17、内切，则动圆圆心 P的轨迹方程为_分析：相切两圆连心线必过两圆的切点，设切点为 M，则 B、 P、 M 三点共线，| PB| PM| BM|8，又 A在 P 上，| PA| PM|，从而| PB| PA|8. 已知 F1、 F2 为椭圆 1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点若| F2A| F2B|12，则| AB|_. 解析：(| AF1| AF2|)(| BF1| BF2|)| AB| AF2| BF2|4 a20，| AB|8.例 2 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.
18、 B. C2 22 2 12 2D. 12解析：由已知得： 2 c， b22 ac 即 a2 c22 acb2a变形为 e22 e10 解得 e 1，故选 D.23.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.45 35 25 15解析：由题意得：4 b2( a c)4b2( a c)23a22 ac5 c20 5e22 e 30(两边都除以 a2)e 或 e 1(舍)，故选 B.4.已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆 E 的离心率等于( )A. B. C. D.513 1213 35 45解析：设
19、椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、 b、 c，则由条件知， b6， a c9 或 a c9，又 b2 a2 c2( a c)(a c)36，故Error!，Error!， e .ca 5135.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最小值为( )A1 B. C2 D22 2解析：设椭圆 1( ab0)，则使三角形面积最大x2a2 y2b2时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点， S 2cb bc1 . a22.12 b2 c22 a22 a .长轴长 2a2 ，故选 D.2 2椭圆 1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积x29 y225为 m，则当 m
20、 取最大值时，点 P 的坐标是_解析：设椭圆上点 P 到两焦点的距离分别为 u、v，则uv10， uvm；设F 1PF2，由余弦定理可知cos ，即 u2v 22uv cos64mu2 v2 2c22uv，显然，当 P 与 A 或 B 重合时，m 最大答案：181 cos(3,0)或(3,0) 6、若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左x24 y23焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 的最大值为OP FP ( )A2 B3 C6 D8分析：由条件知 O(0,0)， F(1,0)， 的值随OP FP P 点在椭圆上位置的变化而变化，故可设 P(x， y)利用椭圆方程将 y 用 x 表示
21、，则 是关于 x 的函数(其OP FP 中2 x2)，求函数的最值可获解7、已知椭圆 1( ab0)的左焦点为 F，右顶x2a2 y2b2点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P，若 2 ，则椭圆的离心率是( )AP PB A. B. C. D.32 22 13 12由题意知： F( c,0)， A(a,0) BF x 轴， .又 2 ， 2， e .故选 D.APPB ac AP PB ac ca 128、 F2是椭圆 y21 的左、右焦点，点 P 在椭圆x24上运动，则| |的最大值是( )PF1 PF2 A4 B5 C2 D1解析：设 P(x， y)，
22、 F1( ，0)， F2( ，0)，3 3 ( x， y)( x， y)PF1 PF2 3 3 x23 y2. x231 x22 2 x2，2x24 34x221 | |max2.34 PF1 PF2 一、选择题1若椭圆 1 的离心率为 ，则 m( )x22 y2m 12A. B. C. D. 或332 83 83 32焦点在 x 轴上时， e ，解得 m ，焦点在2 m2 12 32y 轴上时， ， m ，故选 Dm 2m 12 832、椭圆 x2 my21 的离心率为 ，则 m 的值为( )32A2 或 B2 C. 或 4 12 14D.14解析 x2 my21，即 x2 1 是椭圆，y2
23、1m m0. 当椭圆的焦点在 x 轴上时，a21， b2 ， c2 a2 b21 0，此时 m1， 由1m 1me m4；ca c2a2 1 1m 32当焦点在 y 轴上时，a2 ， b21， c2 a2 b2 1，此时 0b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1、 F2，线段 F1F2被抛物线 y22 bx 的焦点 F 分成 31两段，则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.12 13 22 33解析 椭圆中 c2 a2 b2， 焦距 2c2，抛物线的焦点 F ，a2 b2 (b2， 0)由题意知| F1F|3| FF2|，| F1F2|4| FF2|， c2| FF2|，即 c
24、2 ， c b，(cb2) c2 a2 c2， e .224、(2010安徽皖北联考)已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1作x2a2 y2b2倾斜角为 30的直线与椭圆的一个交点为 P，且 PF2 x轴，则此椭圆的离心率 e 为( )A. B. C. D.33 32 22 23解析 据已知可得| PF2| ， 在直角三角形b2aPF1F2中可得| PF1|2| PF2| ，2b2a由椭圆定义可得| PF1| PF2| 2 a ， 3b2a b2a2 23则椭圆离心率 e .1 b2a2 1 23 335、(2010浙江台州)已知点 M( ，0)，椭圆3 y21 与
25、直线 y k(x )交于点 A、 B，则 ABM 的x24 3周长为( )A4 B8 C12 D16解析 直线 y k(x )过定点 N( ，0)，而3 3M、 N 恰为椭圆 y21 的两个焦点，由椭圆定义知x24ABM 的周长为 4a428.二、解答题6、(2010新课标全国文)设 F1、 F2 分别是椭圆 E： 1(0 b1)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 E2xyb相交于 A、 B 两点，且| AF2|、| AB|、| BF2|成等差数列(1)求| AB|；(2)若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值解析 (1)由椭圆定义知|AF2| AB| BF2|4，又 2|AB| AF2|
26、 BF2|，得| AB| .43(2)l 的方程为 y x c，其中 c .1 b2设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 A， B 两点坐标满足方程组Error!消去 y 整理得(1 b2)x22 cx12 b20.则 x1 x2 ， x1x2 . 2c1 b2 1 2b21 b2因为直线 AB 的斜率为 1，所以| AB| |x2 x1|，2即 |x2 x1|.43 2则 ( x1 x2)24 x1x289 .4 1 b2 1 b2 2 4 1 2b21 b2 8b4 1 b2 2解得 b .22xyo xyo xyo xyo一、选择题1到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 6
27、的点 的轨迹 0,31F,2 M（ ）A椭圆 B线段 C双曲线 D两条射线2方程 表示双曲线，则 的取值范围是 （ 112kyx k）A B C 0 0kD 或k3 双曲线 的焦距是 （ 14122myx）A4 B C8 D与 有关m4已知 m,n 为两个不相等的非零实数，则方程 mxy+n=0 与 nx2+my2=mn所表示的曲线可能是 （ ）A B C D5 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 （ ）A B3 C D 23 3436过双曲线 左焦点 F1的弦 AB 长为 6，则 （F 2为右焦点）9162yx AB的周长是（ ）A28 B22 C14 D127.F1、 F2为双曲
28、线 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且142yx F1PF2=90,则 F1PF2的面积是（ ） A.2 B.4 C.8 D.168.双曲线 8mx2-my2=8 的焦距为 6，则 m 的值是（ ）A.1 B.-1 C.1 D.8二、填空题9.已知双曲线的方程为 ，则它的实轴长为_，虚轴长为1692xy_，焦点坐标为_，离心率为_，准线方程为_，渐近线方程为_。10 已知双曲线方程为 ，若 P 是双曲线上一点，且149162yx,7|1PF则 _|211 已知双曲线经过 ，且焦点为 ，则双曲线的标准方程为)5,2(P)0,6(_12双曲线 的右焦点到右准线的距离为1792yx_13与椭圆 有相同的焦点，且两准线间的距离为 的双曲线方2516 310程为_14 已知一等轴双曲线的焦距为 2，则它的标准方程为_。15.双曲线 上点 P 到左焦点的距离为 6，这样的点有_个.124yx16 已知曲线方程为 ，1492kyx(1) 当曲线为椭圆时， k 的取值范围是_。(2) 当曲线为双曲线时， k 的取值范围是_。二、解答题：1. 求以椭圆 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线1852yx的方程。2. 已知椭圆经过点 和 ，求椭圆的标准方程。)25,3(M)5,3(N3 已知双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且经过点1C194:22xy，)1,29(M求双曲线 的标准方程。
