1、第 25 讲基本不等式及其应用 玩前必备 1 重要不等式：a2 b2 2ab(a， b R)，当且仅当a b 时取等号ab2 基本不等式：ab2( a 0， b0)，当且仅当a b 时取等号其中 a b称为 a，b 的算术平均数，ab称为 a，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两2个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项3.基本不等式的几个常见变形(1) a b 2 ab (a， b 0)(2) x 1 2(x 0)， b a2(a， b 同号 )xa b(3) ab a b 2 (a， b R) 2(4) a2 b2 ab 2 (a
2、， b R)224.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值， “三相等”是指满足等号成立的条件5.利用基本不等式求最值问题已知 x0 ， y0，则(1) 和定积最大：若s2；x y s(和为定值 )，则当 x y 时，积 xy 取得最大值4(2) 积定和最小：若xy p(积为定值 )，则当 xy 时，和 x y 取得最小值 2 p. 玩转典例 题型一基本不等式成立条件问题例 1 若 a， b R，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是 ()A a2 b22 abB a b 2 abC. 1 1 2D. b a 2a ba
3、bab解题要点在应用基本不等式时， “一正二定三相等”这三者缺一不可. 玩转跟踪 1下列不等式中一定成立的是()A x1 2B ba 2C. sin x 1 2(x k，kZ )D.x 1 2(x0)xa bsin xx12.下列不等式： a2 12a； a b 2； x2 2 1 1，其中正确的个数是 ()abx 1A 0B 1C 2D 3题型二利用基本不等式求最值2例 2(1) 若 x0 ，则 x x的最小值是 ()A 2B 4C. 2D 2 2(2) 当 x1 时，函数 y x 1 的最小值是 _x 1例 3设 0x1 时， x4的最小值为 _；x 1(2) 当 x4 时， x 4 的最
4、小值为 _x 12. 已知 f(x) x1 2(x0，a0) 在 x 3时取得最小值，则a _.4.若 0x0， y0 且 x y1，则 xy142已知 a0， b0， a b 2，则 y a b的最小值是 ()79A. 2B 4C. 2D 52 玩转练习 1若 0 x1，则当 f(x) x(4 3x)取得最大值时， x 的值为 ()1132A.3B. 2C. 4D.35，则 f(x) 4x1的最小值为 ()2若 x 44x 5A 3B 2C 5D 73已知 a，b 为正实数且 ab 1，若不等式 (x y)(ab)m 对任意正实数 x，y 恒成立，则实xy数 m 的取值范围是 ()A. 4
5、， )B. ( ， 1C. ( ， 4D. ( ， 4)12 ab，则 ab 的最小值为 ()4 (2015 湖南 ) 若实数 a，b 满足 abA. 2B 2C 2 2D 4a5已知函数f(x) 4x x(x0 ， a0)在 x 3 时取得最小值，则 a _.6 (2014 年上海 )若实数 x， y 满足 xy1，则 x2 2y2 的最小值为 _7已知 x0，y0，且 3x 4y 12，则 xy 的最大值为 _1 2 ab，则 ab 的最小值为 ()8.(2015 湖南， 7)若实数 a， b 满足 abA.2B.2C.22D.4xy9.(2015 福建， 5)若直线 a b1(a 0，
6、b 0) 过点 (1,1)，则 ab 的最小值等于 ()A.2B.3C.4D.510.(2014 福建， 9)要制作一个容积为34 m ，高为 1 m 的无盖长方体容器 已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器的最低总造价是()A.0 元B.120 元C.160 元D.240 元x2 y211.(2015 山东， 14)定义运算“ ?”： x?yxy(x,y R,xy 0),当 x 0,y 0时 ,x?y(2y) ?x的最小值为 _12.（2019 天津理 13）设 x( x 1)(2 y1)0, y 0, x 2 y 5 ，则的最小值xy为.313. (2018 天津 ) 已知 a , bR ，且 a 3b 60a1，则 2b 的最小值为8关注公众号获取更多资料，让上课更轻松4
