1、上海市黄浦区 201 6 届高三上学期期末调研测试 - 数学文-作者 : _-日期 : _黄浦区 2015 学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷（文科）2016 年 1 月考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码；3本试卷共 23 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟一、填空题（本大题满分56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分1不等式 |x1|
2、1 的解集用区间表示为 (0,2)2函数 ycos2 xsin2 x 的最小正周期是3直线 xy3的一个方向向量可以是 (2,1)214若将两个半径为 1 的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 325若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 126若函数 yasin x 在区间 ,2 上有且只有一个零点，则 a 17若函数 f ( x)x21a x2为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为 (1,)8若对任意不等于 1的正数 a ，函数 f (x)a x 2 的反函数的图像都过点 P ，则点 P 的坐标是 (1,2)9在 ( a b)n 的二项展开式中，若二项式系数的和
3、为256，则二项式系数的最大值为（结果用数字作答） 7010在 ABC 中，若 cos(A 2CB) sin( B C A)2 ，且 AB2 ，则 BC 2 211为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5 天中随机抽取 2 天进行紧急疏散演练，那么选择的 2天恰好为连续 2 天的概率是（结果用最简分数表示）25 212已知 k N* ，若曲线 x2y2k 2 与曲线 xyk 无交点，则 k 113已知点 M (m,0) （ m0 ）和抛物线 C ： y 24x ，过 C 的焦点 F 的直线与 C 交于 A 、uuuruuuruuuuruuur 11B 两点，若 AF2FB ，且 | MF | |
4、 MA |，则 mr rrrrrrr rr r2rrr r14若非零向量 a ， b ， c 满足 a2b3c0 ，且 a bb cc a ，则 b 与 c 的夹角为4二、选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分15已知复数 z ，“zz0 ”是“z为纯虚数”的 答 (B )A 充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件16已知 xR ，下列不等式中正确的是 答 (C)11B x211A 2x3xx 1 x2x 111D11C1 x221x22 | x | x21
5、7已知 P 为直线 ykxb 上一动点，若点P 与原点均在直线xy2 0 的同侧，则 k 、 b 满足的条件分别为 答 (A )A k 1， b2 B k 1， b 2C k 1 ， b2 D k 1 ， b 218已知 a1 ， a2 ， a3 ， a4 是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零若线段 l1 ，l2 ， l3， l4 的长分别为 a1 ， a2， a3 ， a4 ，则 答 (C)A 对任意的 d ，均存在以 l1 ， l2 ， l 3 为三边的三角形B对任意的 d ，均不存在以 l1 ， l2 ， l3 为三边的三角形C对任意的 d ，均存在以 l2， l3 ， l4 为三
6、边的三角形D对任意的 d ，均不存在以l2 ， l3 ， l4 为三边的三角形三、解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤19（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分 3已知三棱柱 ABC A B C 的底面为直角三角形，两条直角边AC 和 BC 的长分别为 4 和3，侧棱 AA 的长为 10（1）若侧棱 AA 垂直于底面，求该三棱柱的表面积CAB（2）若侧棱 AA 与底面所成的角为 60 ，求该三棱柱的体积解 （1）因为侧棱 AA 底面 ABC ，所以三棱柱的高 h 等于侧棱
7、 AA 的长，1AC BC 6，（ 2 分）C H而底面三角形 ABC 的面积 SAB2周长 c 4 3 5 12 ，（ 4 分）于是三棱柱的表面积 S全 ch 2S ABC 132 （ 6 分）（2）如图，过 A 作平面 ABC 的垂线，垂足为 H ， A H 为三棱柱的高（ 8 分）因为侧棱 AA 与底面所成的角为60 ，所以 A AH 60，可计算得A H AA sin 60 5 3 （ 9 分）又底面三角形 ABC 的面积 S 6，故三棱柱的体积 VS A H6 5 330 3 （ 12 分）20（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7
8、 分如图，已知点 A是单位圆上一点，且位于第一象限，以yx 轴B的正半轴为始边、 OA 为终边的角设为，将 OA 绕坐标原A点逆时针旋转至 OB O1 x2（1）用表示 A 、 B 两点的坐标；（2） M 为 x 轴上异于 O 的点，若 MAMB ，求点 M 横坐标的取值范围解 （1）由题设， A 点坐标为 (cos ,sin) ，（ 2 分）其中2k2k（ kZ ）（ 3 分）2因为AOB，所以 B 点坐标为 cos,sin，即 (sin,cos) （ 5 分）2uuur22（2）设 M (m,0) （ mm ,sinuuur(sinm ,cos ) ，0 ），于是 MA (cos) ， M
9、Buuuruuurm)( sinm)sincos0，（ 8 分）因为 MA MB ，所以 MAMB 0 ，即 (cos整理得 m2m(cossin) 0 ，由 m 0 ，得 m cossin2 cos，（ 10 分）4 4此时kk，且2k，于是 2k2k，且2k222444442（ kZ ）得2cos42 ，且 cos0224因此，点 M 横坐标的取值范围为 ( 1,0) U (0,1) （ 12 分）21（本题满分 14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分如图，某地要在矩形区域 OABC 内建造三角形池塘CFBOEF ， E 、 F 分别在 AB 、 B
10、C 边上 OA5 米， OC4E米，EOF，设 CFx ， AEy OA4（1）试用解析式将 y 表示成 x 的函数；（2）求三角形池塘 OEF 面积 S 的最小值及此时 x 的值解 （1）直角三角形 AOE 中， tanAOEy ，直角三角形 COF 中， tanCOFx 54正方形 OABC 中，由EOF4，得AOECOF，于是 tan(AOECOF )1 ，4代入并整理得 y5(4x) （ 4 分）4x 5(4x) 4 ，从而 4 x 4 （ 6 分）因为0 x 5， 0 y 4 ，所以 05(4x)（ 4 x 44x9因此， y）4x911（2） SSOABC(S OAES OCFS
11、EBF )5 4(4(20xy) ，（ 85 y 4xy)(5 x)22分）将 y5(4x) 代入上式，得 S5( x216)5(x4)328 ，（ 10 分）4x2( x4)2x4当 4 x 4 时， x4328 2 ，当且仅当 x4( 21)时，上式等号成立（ 12 分）9x4因此，三角形池塘 OEF 面积的最小值为 20( 21) 平方米，此时 x4(21) 米（ 14分）综上，a， b 满足的关系式为111a 2b2 522（本 分 18 分）本 共有 3 个小 ，第 1 小 分 4 分，第 2 小 分 6 分，第 3 小 分 8 分已知 a1 ， a2 ，an 是由 n（ nN* ）
12、个整数 1 ， 2，n 按任意次序排列而成的数列，数列 bn 足 bkn1ak （ k1,2, L ,n ）（1）当 n3 ，写出数列 an 和 bn ，使得 a23b2 （2） 明：当 n 正偶数 ，不存在 足akbk （ k1,2, L ,n ）的数列 an （3）若 c1 ， c2 ， cn 是 1 ， 2 ， n 按从大到小的 序排列而成的数列，写出ck （ k 1,2,L, n ），并用含n 的式子表示c12c2Lncn （参考：1222L n21 n(n1)(2n1)）6 解（ 1） a12 ， a23 ， a3 1 ； b12 ， b21 ， b33 （ 2 分）a1 1 ， a
13、2 3 ， a32 ； b13 ， b2 1， b32 （ 4 分） 明 （ 2）若 akbk （ k 1,2,L ,n ）， 有 ak n1ak ，于是 akn 1 （ 6 分）1 大于 1 的正奇数，故 n1 不 正整数2当 n 正偶数 ， n2因 a1 ， a2 ，an 均 正整数，所以不存在 足akbk （ k 1,2,L, n ）的数列 an （ 10 分）解 （3） ckn( k 1) （ k1,2, L ,n ）（ 12 分）因 ck(n1)k ，于是 c12c2Lncn ( n 1) 12(n 1) 2 L n( n 1) n （ 14分）(1 2Ln)(n1) (1222Ln
14、2 ) （16 分）1n( n1)21n(n 1)(2n1)1n(n1)(n 2) （ 18分）26623（本 分 18 分）本 共有3 个小 ，第 1 小 分 4 分，第 2 小 分 6 分，第 3 小 分 8 分22已知 ： x2y2 1 （ a b0 ）， 原点的两条直 l1 和 l2 分 与 交于点 A 、abB 和 C 、 D ，得到平行四 形ACBD 6（1）若 a4 ， b3 ，且 ACBD 为正方形，求该正方形的面积S （2）若直线 l1 的方程为 bxay0 ， l2 和 l1 关于 y轴对称，上任意一点 P 到 l1 和 l 2 的222a2 b22 距离分别为 d1 和
15、d2 ，证明： d1d2a2b（3）当 ACBD 为菱形，且圆 x2y21 内切于菱形 ACBD 时，求 a ， b 满足的关系式解 （1）因为 ACBD 为正方形，所以直线 l1 和 l2的方程为 yx 和 yx （ 1 分）yx,点 A、 B 的坐标 (x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 为方程组x2y2的实数解，1691将 yx 代入椭圆方程，解得 x12x22144 25根据对称性，可得正方形 ACBD 的面积 S4x12576 （ 4 分）25证明 （ 2）由题设，直线 l2 的方程为 bxay0，（ 6 分）于是 d1| bxay | ， d2| bxay | ，（ 8
16、 分）b2a2b2a222(bxay)2(bxay) 22(b2 x2a2 y2 )2a 2b2d1d2b2a2b2a2b2a2a2b2 （ 10 分）解 （3）设 AC 与圆 x2y21 相切的切点坐标为 ( x0 , y0 ) ，于是切线 AC 的方程为x0 xy0 y1x0 xy0 y1点 A、 C 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 为方程组x2y 2的实数解a2b21 当 x00 或 y00 时， ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有11（ 11a2b21分） 当 x00 且 y00时，将 y1 (1x0 x) 代入 x2y21 ，y0a2b22
17、222) x22x0 a2xa2(1b220，于是x1 x2a2 (1 b2 y02 )，（ 13 分）整理得 (by0ax0y0 )b2y2220ax0同理可得b2 (1a2 x02 )y1 y2b2 y02a2 x02 （ 15 分）uuur uuur，（ 16 分）因为 ACBD 为菱形，所以 AOCO ，得 AO CO0 ，即 x1 x2y1 y20于是 a2 (1b2 y02 )b2 (1a2 x02 )0 ，整理得 a2b2a2b2 ( x02y02 ) ，由 x02y021 ，b2 y02a2 x02b2 y02a 2 x02得a2b2a2 b2，即111（ 18分）a2b2 7
