1、关于椭圆三个定义教学的一点思考现行高中数学教材是类比圆的定义，利用一根绳子固定两端和一支铅笔给出椭圆的画法，让学生从中观察并提炼出椭圆的第一定义，然后推导椭圆的方程。这样的处理相当简洁且符合知识的逻辑体系，但从椭圆定义教学的现状和困惑中我们看到：学生对于椭圆的第一定义与圆锥曲线的名字不能统一起来，且繁琐的标准方程的推到过程，让蕴含在定义中的对称美与几何意义荡然无存，导致所学知识显得支离破碎。针对以上现状与困境，本篇文章旨在简化标准方程的推到过程，并从推导的过程中挖掘出椭圆三个定义，凸显它们之间的内在联系，供老师们教学参考.椭圆的第一定义：把平面内与两个定点F1 ， F2 的距离的和等于常数2a
2、 （大于 F1 F22c ）的点的轨迹叫做椭圆. 集合表示M MFMF22a(2a 2c)1由选修 2 1 课本 39 页根据椭圆的几何特征，建立适当的直角坐标系，由椭圆的集合表示，列出等式。直接或移项后平方，都要平方计算两次，计算较繁琐，且纯代数计算体会不到定义内蕴含的对称美及几何意义 . 其实在这里教师可以启发学生观察：( xc)2y2( xc)2y22a方程（1）式左边的特征，由表达式形式上的对称性可去猜想( xc)2y2 - (xc)2y2？自然想到对 （）1 式分子有理化处理如下：( x c ) 2y 2( x c ) 2y 21( x c ) 2到对称式的结果 （2）式即( x c
3、)2y2(xc)2y22cxa由（ 1）（ 2）可得( xc) 2y2acxa对于（3）式两边只进行一次平方计算后即得到教科书上的等式（a2 - c2）x2a2 y2a2 (a2c2 )（1）4cx2 a 就可得y 2( xc ) 2y 2（2）（3）（4）对上式两边同时除于 （ a2 - c2）a2 可得到等式x2y21a 2c 2a 2再令 a2- c2b2(b 0)x 2y 2，则得到椭圆的标准方程2b 2a椭圆的第二定义：(5)1把平面内到一定点F的距离与到一定直线l 的距离之比为一常数e(0e 1) 点的轨迹叫做椭圆. 集合表示 MMFe(0e1)d由选修2 1 课本 47 页的例六
4、，给学生归纳出椭圆的第二定义。其实可以由（3）式直接推导出椭圆的第二定义 .( x c)2y2acxc(a 2x)( x c) 2y 2a即得到ca ca 2xac这个式子的几何意义为：一动点到一定点的距离与到一定直线的距离之比为一常数. 即为椭圆的第二定义。椭圆的第三定义：把平面内到两个定点A1 ，A2 的斜率乘积为一个常数e2 1( 1 e2 1 0) 点的轨迹叫做椭圆 . 集合表示M kkMA21( 12MAee1 0)12教学时一般由选修2 1 课本 41页的例三，推广到一般情形给学生归纳出椭圆的第三定义。其实也可以（5）由式直接推导出椭圆的第三定义 .对于 (5) 式移项通分变形可得
5、到等式22ayc 2 a 2（ x 2 - a 2）两边再同时除于 a2y21得到e2（ x 2 - a 2）y 2yye22对上式右边因式分解得到（ x 2- a 2） x a *x a1( 1 e 1 0)这个式子的几何意义为：平面内的动点到两个定点的斜率乘积为一个常数即椭圆第三定义.对于椭圆的第三定义中为了保证两条线的斜率均存在，动点当然不能取两个定点。故经常把这个定义当成椭圆的一个性质来应用，并且可以对它进行推广如下：x 22设（1x1, y1） A（- x ,- y）E :y1，为椭圆上关于原点对称的任意两点A211a2b2M ( x, y) ，若 kMA， kMA 均存在，则kMA kMAe21为定值 .1212x2y2（）a2b211222y2证明：由题可得x1-xy10即x12y12（ 1） - （ 2）得：a2b2（ ）a2212by2y2( y1y)( y1y)kMA kMA1x2x2=x)( x1x)(x1121从而 kk= - b2 = e21；故得证 .MA1 MA2a2. 任取椭圆 E 上的一点y2y2b21= -而x2x2a21
