1、第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题,【自主预习】主题1:命题的定义及分类1.阅读下面的语句,它们的表述形式有什么特点?(1)2+4=7.(2)若x2=1,则x=1.,(3)两个全等三角形的面积相等.(4)3能被2整除.提示:从这些语句可以看到,它们都是陈述句.,2.能判断以上语句的真假吗?若能,请指出真假.提示:可以判断真假,其中语句(3)判断为真,语句(1)(2)(4)判断为假.,通过以上探究,你发现这些语句有什么特点?命题的特点:(1)_.(2)_.命题的定义:_.命题的分类:(1)_.(2)_.,是陈述句,可判断真假,可判断真假的陈述句叫做命题,判断为真的语句叫做真命题,
2、判断为假的语句叫做假命题,主题2:命题的结构形式1.观察下列语句,判断它们是命题吗?(1)若整数a是素数,则a是奇数.(2)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行.(3)若整数a能被2整除,则a是偶数.(4)若ab,则acbc.提示:它们都是命题.,2.你发现以上语句的结构有什么特点?由几部分构成?提示:它们都是“若p,则q”的形式,由条件和结论两部分构成.,通过以上探究你发现命题的结构有什么特点?用文字语言描述:_.用符号语言描述:_.,都是由条件p和结论q两部分构成的,若p,则q,【深度思考】结合教材P3例3你认为应怎样判断一个命题的真假?第一步:_.第二步:_.,把一个命题写成“若p,
3、则q”的形式,若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可判断,“若p,则q”是真;而判断“若p,则q”是假,则只需要,举出一个反例即可,【预习小测】1.下列判断,正确的个数是()3是12的约数;是正数;52且73;22.A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【解析】选A.正确.,2.下列各项中是命题的是()A.周期函数的和是周期函数吗?B.sin 45=1C.x2+2x-10D.梯形是不是平面图形呢?【解析】选B.B项中sin 45=1是命题.,3.语句“若ab,则a-cb-2c”()A.不是命题 B.是真命题C.是假命题 D.不能判断真假【解析】选C.a-cb-2c,即ab-c,当cb,但a0.
4、,【解析】(1)(2)不是命题,(1)是祈使句.(2)是疑问句.(3)(4)是命题,其中(3)是假命题,如正数 既不是素数也不是合数.(4)是真命题,x2+4x+4=(x+2)20恒成立,x2+4x+7=(x+2)2+30恒成立.答案:(3)(4),5.有下列语句:集合a,b有2个子集;x2-40;今天天气真好啊;f(x)=2log3x(x0)是奇函数;若AB=AB,则A=B.其中真命题的序号为_.,【解析】是命题,但不是真命题,因为a,b应有4个子集;不是命题;不是命题;是假命题,f(x)=2log3x是非奇非偶函数;是命题且是真命题.答案:,6.把下列命题写成“若p,则q”的形式,并指出条
5、件与结论.(仿照教材P3例2的解析过程)(1)相似三角形的对应边成比例.(2)当0a1时,函数y=ax是减函数.,【解析】(1)若两个三角形相似,则它们的对应边成比例.条件p:三角形相似,结论q:对应边成比例.(2)若0a1,则函数y=ax是减函数.条件p:0a1,结论q:函数y=ax是减函数.,【互动探究】1.一个命题写成“若p,则q”的形式后,如何判断命题的真假?提示:当一个命题改写成“若p,则q”的形式后,判断这种命题真假的方法是:若由p经过逻辑推理推出q,则该命题为真;若判定该命题为假,只需举出一个反例即可.,2.如何判断一个数学命题是假命题?提示:数学中判断一个命题是真命题,要经过严
6、格证明.而要判断一个命题是假命题,只需举一个反例即可.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:命题及其真假的判断关键1.判断一个语句是否为命题应紧抓两点:是不是陈述句;能否判断真假.2.判断命题真假的关键是对已有知识的掌握,尤其是真命题的判断.,3.准确判断命题的条件与结论是把命题改写为“若p,则q”形式.,【题型探究】类型一:命题的判断【典例1】下列语句:垂直于同一条直线的两条直线平行吗?一个数的算术平方根一定是非负数;,请完成第九题;若直线l不在平面内,则直线l与平面平行.其中是命题的是_.,【解题指南】根据命题的定义逐个判断.【解析】不是命题,因为它不是陈述句;是命题,是假命题,因为负数没有
7、平方根;不是命题,因为它不是陈述句;是命题,是假命题,直线l与平面还可以相交.答案:,【规律总结】判断一个语句是命题的思路及说明(1)思路:一般地,判定一个语句是不是命题,要先判断这个语句是不是陈述句,再看能不能判断真假.(2)说明:反意疑问句含有肯定的意思,只不过语气更加强烈,所以反意疑问句也是命题.特别提醒:不要把错误的命题误认为不是命题.,【巩固训练】判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?(1) 是无理数.(2)若a0,则a215.,【解析】(1)(2)(4)是能够判断真假的陈述句,所以是命题,因为-10,所以(2)是假命题,(3)是疑问句,所以不是命题,(5)是祈使句,所以不是
8、命题,(6)中由于x是未知数,x可能大于15,也可能小于15,不能判断真假,所以不是命题.(1)(2)(4)是命题,其中(1)(4)是真命题,(2)是假命题,(3)(5)(6)不是命题.,类型二:判断命题的真假【典例2】判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.(1)一个等比数列的公比大于1时,该数列为递增数列;(2)求证:xR时,方程x2-x+2=0无实根;,(3)垂直于同一直线的两条直线平行吗?(4)当x=3时,3x-80.,【解题指南】判定一个命题是假命题,只要举出一个反例即可,而要判定一个命题是真命题,一般要经过严格的推理论证.,【解析】(1)是命题.当首项小于零,公比大于
9、1时该数列为递减数列,该命题为假命题.(2)该语句为祈使句,不是命题.(3)不是命题.它是疑问句,没有做出判断.(4)是命题.当x=3时,3x-80,是真命题.,【延伸探究】(改变问法)本例中语句不变,把不是命题的语句改为真命题.【解析】(2)(3)不是命题.(2)改为真命题是:若xR,方程x2-x+2=0无实根.(3)改为真命题是:垂直于同一直线的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面.,【规律总结】1.判断命题真假的两个技巧(1)真命题:判断一个命题为真命题时,会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等,借助于题目中的已知条件,经过严格推理论证得出要证的结论.,(2)假命题:判断一个命题
10、为假命题时,只要举一反例即可.,2.判断命题真假的三种方法,【拓展延伸】命题真假的两个关注点1.一个命题的真假与命题所在环境有关.对其进行判断时,要注意命题的前提条件,如“若ac,bc,则ab”在平面几何中是真命题,而在立体几何中却是假命题.,2.从集合的观点看,建立集合A,B与命题中的p,q之间的一种联系:设集合A=x|p(x)成立,B=x|q(x)成立,就是说,A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合,B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合,此时,命题“若p,则q”为真,当且仅当AB时满足.,【巩固训练】(2016惠州高二检测)有下列命题:若xy=0,则|x|+|y|=0;若ab,则
11、a+cb+c;矩形的对角线互相垂直.其中真命题共有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,【解析】选B.由xy=0得到x=0或y=0,所以|x|+|y|=0不正确,是假命题;当ab时,有a+cb+c成立,正确,所以是真命题;矩形的对角线不一定垂直,不正确.是假命题.,类型三:命题的构成【典例3】把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)等腰三角形的两个底角相等.(2)当x=2或x=4时,x2-6x+8=0.,(3)矩形的对角线相等.(4)当ab,cR时,ac2bc2.,【解题指南】找准命题的条件和结论,是解这类题目的关键.【解析】命题(1):若一个三角形是等腰三角形,则它的两
12、个底角相等.显然这个命题是真命题.,命题(2):若x=2或x=4,则x2-6x+8=0.通过检验可知这个命题是真命题.命题(3):若一个四边形是矩形,则它的对角线相等.是真命题.命题(4):若ab,cR,则ac2bc2.是假命题,因为c=0时,ac2bc2不成立.,【规律总结】写出命题的条件和结论的两种类型及相应的策略(1)若p,则q型:可直接看出命题的条件和结论,p是条件,q是结论.,(2)非“若p,则q”型:可先确定命题的条件和结论,将命题写成“若p,则q”的形式.改写时要注意:命题中有前提条件时,前提条件不参与改写,它不是条件,也不是结论;改写时有时需结合相关知识点进行扩写.特别提醒:若
13、命题条件和结论比较隐蔽,要补充完整.,【拓展延伸】找出命题的条件和结论的方法当一个命题的条件和结论没有直接表述出来时,应把命题表述完整,把命题改写成“若p,则q”的形式,这样就可以找出命题的条件和结论.注意不要把前提条件与命题的条件混淆了,两者有区别.,【巩固训练】(2016南京高二检测)将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.(1)能被3整除的数一定能被6整除.(2)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.,【解析】(1)命题改写成“若p,则q”的形式为:若一个数能被3整除,则这个数一定能被6整除;它是假命题,如9能被3整除,但不能被6整除.,(2)命题改写成“若p,则q”的形式为:若一个点到已知线段两端点的距离相等,则这个点在这条线段的垂直平分线上;由平面几何知识知它是真命题.,
