1、1.4.3 含有一个量词的命题的否定,【知识提炼】全称命题与特称命题的否定(1)全称命题p:xM,p(x)的否定p:_;全称命题的否定是_.(2)特称命题p:x0M,p(x0)的否定p:_;特称命题的否定是_.,x0M,p(x0),特称命题,xM,p(x),全称命题,【即时小测】1.思考下列问题:(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗?提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.,(2)对省略量词的命题怎样否定?提示:对于含有一个量词的命题,容易知道它是全称命题或特称命题.一般地,省略了量词的命题是全称
2、命题,可加上“所有的”或“对任意”,它的否定是特称命题.反之,亦然.,2.已知命题p:xR,sinx1,则其否定是()A.p:x0R,sinx01B.p:xR,sinx1C.p:x0R,sinx01D.p:xR,sinx1【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,因此选C.,3.命题“xR,x2+x+10”的否定是.【解析】此命题为全称命题,其否定是特称命题,把“”改为“”,然后把x2+x+10进行否定.答案:x0R, x02+x0+10,4.命题“x0R, x02-x0+1=0”的否定是.【解析】此命题为特称命题,其否定为全称命题,需要把“”改为“”,同时把x2-x+1=0进行否定.答案:xR
3、,x2-x+10,【知识探究】知识点 含有一个量词的否定观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:对于“全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题”这一结论,你是怎样理解的?问题2:怎样认识全称命题和特称命题的关系?,【总结提升】1.全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定.全称命题的否定是一个特称命题,给出全称命题的否定时既要否定全称量词,又要否定性质,所以找出全称量词,明确命题所提供的性质是对全称命题否定的关键.,(2)特称命题的否定.特称命题的否定是一个全称命题,给出特称命题的否定时既要否定存在量词,又要否定性质,所以找出存在量词,明确命题所提供的性质是对特称命题否定的关键.,
4、2.对全称命题与特称命题关系的认识(1)结构关系的认识.全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质,无一例外.特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外.两者正好构成了相反意义的表述,所以全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.,(2)真假性的认识.全称命题的否定与全称命题的真假性相反;特称命题的否定与特称命题的真假性相反.,【题型探究】类型一全称命题的否定与真假判断【典例】1.(2015合肥高二检测)若命题p:xR,2x2-10,则该命题的否定是()A.xR,2x2-10,2.写出下列命题的否定.并判断真假.(1)所有自然数的平方是正数.(2)任何实数x都是方
5、程5x-12=0的根.(3)对任意实数x,x2+10.,【解题探究】1.题1的命题p中含有的量词是什么?命题的结论是什么?提示:命题p中的量词是“”,命题的结论是“2x2-10”.2.题2各组命题中的量词是什么?命题的结论是什么?提示:(1)中的量词为“所有”,结论是“自然数的平方是正数”.(2)中的量词为“任何”,结论是“实数x都是方程5x-12=0的根”.(3)中的量词为“任意”,结论是“实数x都有x2+10”.,【解析】1.选D.因为命题p:xR,2x2-10是全称命题,所以该命题的否定是:x0R,2 x02-10.2.方法一:(1)有些自然数的平方不是正数.因为0是自然数,所以为真命题
6、.(2)存在实数x0不是方程5x0-12=0的根.真命题.(3)存在实数x0,使得x02+10.假命题.方法二:(1)x0N,使得 x020.真命题(2)x0R,使得5x0-120.真命题(3)x0R, x02+1 ,则p为()A.nN,n22nB.n0N, n02C.nN,n22nD.n0N, n02=,2.写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假:(1)有些实数的绝对值是正数.(2)某些平行四边形是菱形.(3)x0R,x02+1 .,2.题2中各命题中含有的量词是什么?各命题的结论分别是什么?提示:命题(1),(2)含有的量词是“有些”,“某些”,其结论分别为:“实数的绝对值是正数”与“
7、平行四边形是菱形”,命题(3)(4)含有的量词是“”,其结论分别为:“x02+10”与“ x0+y0=3”.,【解析】1.选C.p:nN,n22n.2.(1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题.(3)命题的否定是“不存在x0R,使x02+11,使x02-2x0-8=0.(2)p:若an=-2n+10,则n0N*, 1,x2-2x-80.假命题.(2)p:若an=-2n+10,则nN*,Sn0.假命题.(3)p
8、:xR,有x20.真命题.,【延伸探究】1.(变换条件)把题(2)中的“an=-2n+10”改为“an=2n+10”,试写出其否定并判断真假.【解析】p:若an=2n+10,则nN*,Sn0.真命题.,2.(改变问法)把题(2)中的“n0N*, 0”改为“n0N*, 0”,试写出其否定并判断真假.【解析】p:若an=-2n+10,则nN*,an0.假命题.,类型三 全称命题、特称命题的应用【典例】1.(2015济南高二检测)若命题p:存在x0R,使ax02+2x0+a0对于任意xR成立,并说明理由.,【解题探究】1.典例1中命题p中含有的量词是什么?p为真命题说明了什么?提示:命题p中含有的量
9、词是“存在”,p为真命题说明了存在x0,使ax02+2x0+a0,得-1a1,故0a0可化为m-f(x),即m-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m-(x-1)2-4对于任意xR恒成立,只需m-4即可.故存在实数m,使不等式m+f(x)0对于任意xR恒成立,此时,只需m-4.,【延伸探究】把本例题2改为“若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)0成立”,求实数m的取值范围.【解析】不等式m-f(x0)0可化为mf(x0),若存在一个实数x0,使不等式mf(x0)成立,只需mf(x)min,又f(x)=(x-1)2+4,所以f(x)min=4,所以m4.所以,所求实数m的取值范围是(4,
10、+).,【方法技巧】含有一个量词的命题与参数范围的求解策略(1)对于全称命题“xM,af(x)(或af(x)max(或af(x0)(或af(x)min(或af(x)max).,(3)若全称命题为假命题,通常转化为其否定命题特称命题为真命题解决,同理,若特称命题为假命题,通常转化为其否定命题全称命题为真命题解决.,【变式训练】(2015烟台高二检测)若命题“x-1,+),x2-2ax+2a”是真命题,求实数a的取值范围.【解题指南】因为此命题是全称命题,所以应满足在所给条件下恒成立.令f(x)=x2-2ax+2,只需当x-1,+)时,f(x)mina成立,可以利用一元二次不等式与一元二次函数的关
11、系解题.,【解析】由题意,x-1,+).令f(x)=x2-2ax+2a恒成立,可转化为x-1,+),f(x)mina恒成立.又f(x)=(x-a)2+2-a2,所以x-1,+),f(x)min=因为f(x)的最小值f(x)mina,所以-1a1或-3a0,求实数x的取值范围.,【解析】设f(a)=x2-(a+1)x+2a,则有f(a)=(2-x)a+x2-x,a-1,1,因为a-1,1时,y=f(a)0恒成立,则得 解得x 或x 或x0,则x2+y0”的否定是 .,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因是只否定了命题中的量词,实际上本题是含有一个量词的否定,在否定时对命题中的量词和结论都应否定.,【自我矫正】已知命题是一个全称命题,其否定为特称命题,先将“任意”换成“存在”,再否定结论,即命题的否定是:存在x0R,若y0,则x02+y0.答案:存在x0R,若y0,则x02+y0,【防范措施】命题的否定与否命题命题的否定只否定结论.否命题是条件和结论都要否定,如本例中命题的否定是含有一个量词的否定,既要否定量词,也要否定结论.,
