1、3.1.2用二分法求方程的近似解,1.二分法的概念对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.,做一做1下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是(),解析:利用二分法求函数零点必须满足零点两侧的函数值异号.在选项B中,不满足f(a)f(b)0,不能用二分法求函数零点,由于选项A,C,D中零点两侧的函数值异号,故可采用二分法求函数零点.答案:B,2.用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤(1)确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定
2、精确度.(2)求区间(a,b)的中点c.(3)计算f(c):若f(c)=0,则c就是函数的零点;若f(a)f(c)0,则令b=c此时零点x0(a,c);若f(c)f(b)0,则令a=c此时零点x0(c,b).(4)判断是否达到精确度:若|a-b|,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复(2)(4).,做一做2若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:,则方程x-3+log3x=0的一个近似根(精确度0.1)为 ()A.2.1B.2.2C.2.3D.2.4解析:由参考数据可知f(2.25)f(2.312 5)0,且|2.312 5-2.25|=0.
3、062 50.1,所以当精确度为0.1时,可以将x=2.3作为函数f(x)=log3x+x-3零点的近似值,也即为方程x-3+log3x=0的近似根.答案:C,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)所有函数的零点都可以用二分法来求. ()(2)函数f(x)=|x|可以用二分法求其零点. ()(3)二分法只可用来求方程的近似解. ()答案:(1)(2)(3),探究一,探究二,思想方法,探究一用二分法求函数的零点,【例1】求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度0.1).分析:先确定f(-2)与f(-3)的符号,再按照二分法求函数零点近似值的步骤求解.解:由
4、于f(-2)=-10,故取区间-3,-2作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:,由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 50.1,所以函数的一个近似负零点可取-2.25.,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,变式训练1只将本例中的“负”改为“正”呢?解:由于f(2)=-10,故取区间2,3作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:,根据上表计算知,区间(2.187 5,2.25)的长度是0.062 50.1,所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值,所以其近似值可以为2.187 5.,探究一,探究二,思想方法,探究二求方程
5、的近似解,【例2】求方程lg x=2-x的近似解(精确度0.1).分析:在同一平面直角坐标系中,画出y=lg x和y=2-x的图象,确定方程的解所在的大致区间,再用二分法求解.,探究一,探究二,思想方法,解:在同一平面直角坐标系中,作出y=lg x,y=2-x的图象如图所示,可以发现方程lg x=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内.若f(x)=lg x+x-2,则f(x)的零点为x0.用计算器计算,得f(1)0x0(1,2);f(1.5)0x0(1.5,2);f(1.75)0x0(1.75,2);f(1.75)0x0(1.75,1.875);f(1.75)0x0(1.75,1.
6、812 5).|1.812 5-1.75|=0.062 50.1,方程的近似解可取为1.812 5.,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,变式训练2用二分法求2x+x=4在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2).参考数据:,解:令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-40.,|1.375-1.5|=0.1250.2,2x+x=4在(1,2)内的近似解可取为1.375.,探究一,探究二,思想方法,转化与化归思想在二分法中的应用典例求 的近似值(精确度0.01).,探究一,探究二,思想方法,由于区间(1.257 812 5,1.265 625)的长度为1.265 625-1
7、.257 812 5=0.007 812 50.01,所以 的近似值可以取1.265 625.,探究一,探究二,思想方法,探究一,探究二,思想方法,变式训练求 的近似值(精确度0.1).解:设x= ,则x3-3=0.令f(x)=x3-3,则函数f(x)零点的近似值就是 的近似值.由于f(1)=-20,因此可取区间1,2作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,见表如下:,因为区间(1.437 5,1.5)的长度为0.062 50.1,所以 3 3 的近似值可以取1.437 5.,1 2 3 4 5,1.已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数及可以用二分法求其零点的个数分别为()A.4,4B.3
8、,4C.5,4D.4,3解析:由题图知函数f(x)与x轴有4个交点,因此零点个数为4,从左往右数第4个交点横坐标的左右两侧的函数值同号,因此不能用二分法求该零点,而其余3个均可使用二分法来求.故选D.答案:D,1 2 3 4 5,2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间为()A.-2,1B.-1,0C.0,1D.1,2解析:由f(-2)f(1)0知初始区间可以取-2,1.答案:A,1 2 3 4 5,3.用二分法求方程f(x)=0在区间(0,1)内的近似解时,经计算,f(0.425)0,f(0.605)0,即得到方程的一个近似解为.(精确度0.1)解析:0.605-0.532=0.0730.1,(0.532,0.605)内的值都可以作为方程精确度为0.1的一个近似解.答案:0.532(答案不唯一),1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,5.求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度0.1).解:设f(x)=x2-2x-1,因为f(2)=-10,所以可以确定区间2,3作为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:,因为|2.375-2.437 5|=0.062 50.1.所以方程x2=2x+1的一个近似解可取2.437 5.,
