1、1.2.2充要条件,【阅读教材】 根据下面的知识结构阅读教材，并识记充要条件的概念，初步掌握充要条件的判断与证明方法.,【知识链接】1.充分与必要条件：指的是若pq，则称p为q的充分条件，q为p的必要条件.2.充分条件与必要条件的判断方法：(1)定义法：看pq成立还是qp成立.(2)集合法：看AB还是BA.,主题：充要条件的概念【自主认知】1.已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数.请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？提示：pq，故p是q的充分条件，又qp，故p是q的必要条件.,2.通过判断，你发现了什么？这种关系是否对任意一个“若p，则q”的命题只要具备上述命题的条件
2、都成立？你能用数学语言概括出来吗？提示：可以发现p既是q的充分条件，又是q的必要条件，且这种关系对“若p，则q”的命题只要具备pq，qp都成立，即pq.,根据以上探究过程，试着完成充要条件的概念：一般地，如果_，又有_，就记作_.此时我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，q也是p的充要条件，概括地说：如果pq，那么p与q互为充要条件.,既有pq,qp,pq,【合作探究】1.符号“”的含义是什么？提示：符号“”的含义是“等价于”.例如，“pq”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q必须且只须p”；“pq”的含义还可以理解为“pq，且qp”.,2.p是q的充要条件与q是p的充
3、要条件的意义相同吗？提示：不相同.两者都有p与q等价的含义，但是两种叙述方式中的条件与结论不同：“p是q的充要条件”中，“p”是条件，“q”是结论，即pq为真，充分性成立，qp为真，必要性成立；而“q是p的充要条件”中的条件是“q”，结论是“p”，即qp为真，充分性成立，pq为真，必要性成立.,3.若p不是q的充分条件，则q可能是p的必要条件吗？p可能是q的必要条件吗？提示：充分条件与必要条件是共存的，如果p不是q的充分条件，则q也不是p的必要条件.p可能是q的必要条件.,【过关小练】1.b=0是函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既
4、不充分也不必要条件,【解析】选C.若b=0，则f(x)=ax2+c为偶函数；若f(x)为偶函数，则有f(-x)=-f(x)得b=0，故b=0是函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数的充要条件.,2.x=1是x2-3x+2=0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选A.因为x2-3x+2=0的解为x=1或x=2，所以x=1是x2-3x+2=0的充分不必要条件.,3.m+5为无理数是m为无理数的_条件.【解析】m+5为无理数m为无理数.答案：充要,【归纳总结】1.充要条件概念的两个关注点(1)两个条件：只有当“pq”“qp”这两个条件同时满足时，p与
5、q才互为充要条件.(2)两层含义：p与q互为充要条件有两层含义：p是q的充要条件；q是p的充要条件.,2.常见的充分条件、必要条件的四种关系(1)p是q的充分不必要条件：即pq，但(2)p是q的必要不充分条件：即 但qp.(3)p是q的充要条件：即pq且qp.(4)p是q的既不充分也不必要条件：即 且,【拓展延伸】等价命题的转化与充要条件由于p是q的充要条件和p与q等价是一致的，因而我们可以通过这一结论将我们所要证明判定的结论和利用的条件进行转化，即我们可以把命题p转化为命题q来证明判定，这就是数学上重要的转化思想.,类型一：充分条件、必要条件的判断【典例1】(1)(2014天津高考)设a，b
6、R，则“ab”是“a|a|b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件,(2)在下列结论中，正确的有()x29是x3b|b|；当b=0时，显然有aba|a|b|b|；当b0时，ab有|a|b|，所以aba|a|b|b|.综上可知aba|a|b|b|.,(2)选C.对于结论，由x39，但是x29x3x327，不一定有x31”是”x31”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由题易知“x1”可以推得“x31”,“x31”可以得到“x1”,所以“x1”是“x31”的充要条件.,【补偿训练】1.“a=
7、-2”是“直线ax+2y=0平行于直线y=1+x”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当“a=-2”时，“直线-2x+2y=0平行于直线y=1+x”成立；若“直线ax+2y=0平行于直线y=1+x”，则2+a=0，即“a=-2”成立.故“a=-2”是“直线ax+2y=0平行于直线y=1+x”的充要条件.,2.“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为”的充分不必要条件；“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的必要不充分条件；函数y= 的最小值为2.其中错误的为_(将你认
8、为错误的序号全都填上).【解题指南】结合充分条件和必要条件逐一判断.,【解析】“函数y=cos2kx-sin2kx=cos2kx的最小正周期为”“k=1”，正确；当“a=3”时，“直线3x+2y+9=0不与直线3x+2y=-4相互垂直”；“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”，则“a3”，错误；,函数令 则当 时y的最小值为 错误.答案：,类型二：充分不必要条件、必要不充分条件的应用【典例2】已知条件p：A=x|x2-(a+1)x+a0，条件q：B=x|x2-3x+20，当a为何值时，(1)p是q的充分不必要条件.(2)p是q的必要不充分条件.(3)p是q的充要条
9、件.【解题指南】先化简p，q对应的集合，再结合p，q的关系转化为集合A，B间的关系，构建方程或不等式可解.,【解析】因为A=x|x2-(a+1)x+a0=x|(x-1)(x-a)0.B=x|x2-3x+20=1，2，(1)因为p是q的充分不必要条件，所以A B，而当a=1时，A=1，显然成立，当a1，A=1，a，需12，所以有a2时p是q的必要而不充分条件.(3)因为p是q的充要条件，所以A=B，故a=2.,【延伸探究】1.(改变问法)本例条件不变，当a为何值时，q是p的充分不必要条件？【解析】p：A=x|(x-1)(x-a)0，q：B=1，2，若q是p的充分不必要条件，即qp，但p q，即p
10、是q的必要不充分条件，故a的取值范围为a2.,2.(变换条件)若把本例中B集合改为：B=x|x2+x-20，其他条件不变，则a为何值？【解析】B=x|x2+x-20=-2，1，此时，(1)A B，得：-2a1.(2)B A，得：a-2.(3)A=B，得：a=-2.,【规律总结】应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解.,【补偿训练】(2015厦门高二检测)设p： q：(x-a)x-(a+1)0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是_.【解
11、析】p： q：axa+1,依题意有 x|axa+1，得 或答案：,类型三：充要条件的证明【典例3】(2015兰州高二检测)已知x,y都是非零实数，且xy，求证： 的充要条件是xy0.【解题指南】先证充分性：xy0再证必要性： xy0.,【证明】(1)充分性：由xy0因为xy0，且xy,所以(2)必要性：由 xy0,因为 即又因为xy，所以y-x0，所以xy0.,【规律总结】1.充要条件证明的两个方面要证明充要条件，就是要证明两个，一个是充分条件，另一个是必要条件；要证明必要不充分条件，就是要证明，一个是必要条件，另一个是不充分条件；要证明充分不必要条件，就是要证明，一个是充分条件，另一个是不必
12、要条件.,2.充要条件证明的两个关注点(1)证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证pq是证明充分性，推证qp是证明必要性.(2)充要性的证明，一般有一种情形是比较简单易证的，因此在证明时，既可以先证明充分性，也可以先证明必要性.,【巩固训练】对于两个非零的平面向量a，b，求证：abab=0.【证明】(1)必要性：设向量a与b的夹角为.因为a0，b0，ab=0，所以|a|b|cos=0.又因为|a|b|0，所以cos=0，又因为0，所以 所以ab.,(2)充分性：因为ab，所以a与b的夹角为所以ab=|a|b|cos =0.由(1)(2)，得abab=0.,【补偿训练】求证：关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)，有一正根和一负根的充要条件是ac0，x1x2= 0及x1x2= 0，所以方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2+bx+c=0(a0)有一正根和一负根.,
