1、3.4生活中的优化问题举例,【题型示范】类型一 几何中的最值问题【典例1】(1)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为21,则该长方体的最大体积是m3.,(2)如图,等腰梯形ABCD的三边AB,BC,CD分别与函数y=- x2+2, x-2,2的图象切于点P,Q,R.求梯形ABCD面积的最小值.,【解题探究】1.题(1)中应设哪个未知量?如何表示其他的量?2.题(2)中如何巧设切点坐标?在曲线上一点处的切线方程公式是什么?,【探究提示】1.根据题意知,长方体的所有棱长和是18m,故可设出宽,用宽表示出长和高,将体积表示成宽的函数,用导数来求其最大值即可.2.可设点
2、P的坐标为 (0t2),过曲线上一点的切线方程公式是y-f(x0)=f(x0)(x-x0).,【自主解答】(1)设该长方体的宽是x m，由题意知，其长是2x m，高是 则该长方体的体积V(x)=x2x -6x3+9x2，由V(x)=0，得到x=1，且当0x1时，V(x)0；当1x 时，V(x)0，即体积函数V(x)在x=1处取得极大值V(1)=3，也是函数V(x)在定义域上的最大值所以该长方体体积最大值是3 m3答案：3,(2)设梯形ABCD的面积为S，点P的坐标为 (010时,S单调递增;当0x10时,S单调递减.所以当x=10时,Smin=216(cm2),此时纸张的左右长为12cm,上下
3、长为18cm.故当纸张的边长分别为12cm,18cm时最节约.,【补偿训练】已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,点A在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心,SA=a,则此三棱锥体积的最大值是.【解题指南】说明点S在底面ABC上的射影O为ABC的垂心,三棱锥S-ABC为正三棱锥,记SO=h(ha),求出AO,AB,表示出f(h),通过导数求出函数的最大值.,【解析】因为点A在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心,所以点S在底面ABC上的射影O为ABC的垂心;又ABC为正三角形,所以O为ABC的中心,即三棱锥S-ABC为正三棱锥.记SO=h(h80时,y0;当0v80时,y0.所以v=80时,ymi
4、n=720.答案:80km/h,(2)每月生产x吨时的利润为f(x)= x-(50000+200x)=- x3+24000x-50000(x0),由f(x)=- x2+24000=0,解得:x=200或x=-200(舍去).因f(x)在0,+)内只有一个点x=200使f(x)=0,故它就是最大值点,且最大值为f(200)=- 2003+24000200-50000=3150000(元),故每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.,【方法技巧】1.经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢,以产量或单价为自变量很容易建立函数关系,从而可以利用导数来
5、分析、研究、指导生产活动.2.关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润=收入-成本.(2)利润=每件产品的利润销售件数.,【变式训练】(2014宁德高二检测)在一定面积的水域中养殖某种鱼类,每个网箱的产量p是网箱个数x的一次函数,如果放置4个网箱,则每个网箱的产量为16吨;如果放置7个网箱,则每个网箱的产量为10吨,由于该水域面积限制,最多只能放置10个网箱.,(1)试问放置多少个网箱时,总产量Q最高?(2)若鱼的市场价为m万元/吨,养殖的总成本为(5lnx+1)万元.当m=0.25时,应放置多少个网箱才能使总收益y最大?当m0.25时,求使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合.,【解析】(
6、1)设p=ax+b,由已知得 所以p=-2x+24,所以Q=px=(-2x+24)x=-2(x-6)2+72(xN*,x10),所以当x=6时,f(x)最大,即放置6个网箱时,可使总产量达到最大.,(2)总收益为y=f(x)=(-2x2+24x)m-(5lnx+1)(xN*,x10),当m=0.25时,f(x)=(-2x2+24x) -(5lnx+1)=- x2+6x-5lnx-1,所以f(x)= 当10,当5x10时,f(x)0,方程-4mx2+24mx-5=0的两根分别为x1=3- ,x2=3+ ,因为m0.25,所以x11,5x20,当x2x10时,f(x)0,所以x=x2时,函数取得极
7、大值,也是最大值.所以使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合为5,6.,【补偿训练】某隧道长2 150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持 米的距离，其中a为常数且 a1，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(秒)(1)将y表示为x的函数.(2)求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度,【解析】(1)依题意，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间y等于隧道长加车长加车的间隙长，除以运输车的速度x米/秒，,【规范解答】导数在解决实际
8、问题中的应用 【典例】(12分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9x11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.,(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式.(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).,【审题】抓信息,找思路,【解题】明步骤,得高分,【点题】警误区,促提升失分点1:若在处不能正确求出导数为0的点,即不舍x=12则会求错,本例最多得2分.失分点2:若审题不清忽视对处的讨论,仅求出一组,则本例最多得5分.失分点3:若虽然进行了讨
9、论,但无法确定函数取得最大值的点,即未能求出处的值,则本例最多得7分.,【悟题】提措施,导方向1.应用分类讨论思想在解含有参数的问题时,一定要注意分类讨论.如本例中销售价x由于管理费a的变化而变化,最终会影响利润的最大值.2.注意限制条件的挖掘对题目中的条件要认真分析,找出一些限制条件,如本例中x的取值,对于不符合条件的x的取值,要舍去.,3.注意解题的规范性解决实际应用题时,要注意解答过程的规范性,对于分类讨论得到的结果,如本例最大利润的结果表达式,要写成分段的形式,最后一定要进行总结.,【类题试解】某工厂生产某种水杯,每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数,且2m3),设每
10、个水杯的出厂价为x元(35x41),根据市场调查,水杯的日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例,已知每个水杯的出厂价为40元时,日销售量为10个.(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式.(2)当每个水杯的出厂价为多少元时,该工厂的日利润最大,并求日利润的最大值.,【解析】(1)设日销量为s,则s= ,因为x=40时,s=10,所以10= ,所以k=10e40,所以s= .所以y= (x-30-m)(35x41).(2)y= (31+m-x),令y=0,可得x=31+m,所以当2m3时,3331+m34,所以当35x41时,y0,函数为减函数.所以当x=35时,y取最大值,最大值为10(5-m)e5.,
