1、最新资料推荐点差法习题【学习目标】圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。使用说明及学法指导】1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用；2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用；若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A( x1, y
2、1 ) 、 B(x2 , y2 ) ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差， 得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。 我们称这种代点作差的方法为 “点差法”。一、自主证明x2y21M 、 N 两点，点 P(x0 , y0 ) 是弦 MN 的中点，在椭圆 a2b21、定理（ a b 0）中，若直线 l 与椭圆相交于kMNy0b2x0a2弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则.x 2y 21M 、N 两点，点 P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中点，同理可证，在椭圆 b 2a 2l 与椭圆相交于（ a b 0）中，若直线kMNy0a2b2弦 MN 所
3、在的直线 l 的斜率为 kMN ，则x0.x 2y 21在双曲线 a 2b22、定理（ a 0， b 0）中，若直线 l 与 双曲线相交于M 、 N 两点，点kMNy0b 2P(x0 , y0 )k MNx2是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为，则a .0y 2x 21M 、 N 两点，点 P(x0 , y0 ) 是弦 MN同理可证，在双曲线 a2b 2（ a 0， b 0）中，若直线 l 与双曲线相交于kMNy0a 2x0b 2的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则.3、定理在抛物线 y 22mx(m0) 中，若直线 l 与抛物线相交于 M 、N 两点，
4、点 P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中点， 弦 MN所在的直线 l的斜率为 kMN ，则 kMNy0m .1最新资料推荐x2y 21OP1 (OAOB )例 1 设椭圆方程为4，过点 M (0,1) 的直线 l 交椭圆于点 A 、B，O 为坐标原点， 点 P 满足2，1 1,点 N 的坐标为2 2.当 l 绕点 M 旋转时，求：（ 1）动点 P 的轨迹方程；（ 2） | NP | 的最大值和最小值 .C : y2x21P(2,1) 作直线 l 交双曲线 C 于 A、 B 两点 .例 2 已知双曲线3，过点（ 1）求弦 AB 的中点 M 的轨迹；（ 2）若 P 恰为弦 AB 的中点，求直
5、线 l 的方程 .例 3 抛物线 y24x 的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）21A.y 2x 1B. y 22( x 1)C.yx 2D. y 22 x 11.已知椭圆 x 22 y 24 ，则以 (1,1) 为中点的弦的长度为（）3036A. 32B.23C.3D.22. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7 ,0) ，直线 yx1 与其相交于 M 、 N 两点， MN 的中点的横坐标为23 ，则此双曲线的方程为（）x 2y 2x2y 2x2y2x2y21111A.34B.43C.52D.253. 已知直线 xy20 与抛物线 y24x 交于 A 、 B 两点，那么线段 AB 的中点坐
6、 标是 _.【规律总结】同理可证，在抛物线x22my(m0) 中，若直线 l 与抛物线相交于 M 、 N 两点，点 P( x0 , y0 ) 是弦 MN的中点，弦1x0mMN 所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则 kMN.一、以定点为中点的弦所在直线的方程例 1、过椭圆 x2y 21内一点 M (2,1) 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。164y 2例 2、已知双曲线 x21 ，经过点 M (1,1)能否作一条直线l ，使 l 与双曲线交于 A 、 B ，且点 M 是线段 AB 的中2点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。二、过定点的弦和平行弦的中点
7、坐标和中点轨迹例 3、已知椭圆 y2x21的一条弦的斜率为3，它与直线 x1的交点恰为这条弦的中点M ，求点 M 的坐标。75252例 4、已知椭圆 y2x21,求它的斜率为 3的弦中点的轨迹方程。xy0(5 3x5 3)752522三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例 5、已知中心在原点， 一焦点为 F (0, 50 ) 的椭圆被直线 l : y3x2 截得的弦的中点的横坐标为1 ，求椭圆的方程。四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题2例 6、已知椭圆 x2y21 ，试确定的 m 取值范围， 使得对于直线y4xm ，椭圆上总有不同的两点关于该直线对43称。2最新资料推荐答 案例 1. 解：设直
8、线与椭圆的交点为M ( 2,1) 为 AB 的中点又 A 、 B 两点在椭圆上，则两式相减得 ( x12x22 )4( y12于是 ( x1x2 )( x1x2 )4( y1y1y2x1x2x1x24( y1y2 )A( x1 , y1) 、 B( x2 , y2 )x1x24y1x 24y216， x2112y22 )0y2 )( y1y2 )04 14 22y224y2 216即 kAB1 ，故所求直线的方程为y11 ( x2) ，即 x2 y4 0 。22例 2. 解：设存在被点M 平分的弦 AB ，且 A( x1 , y1) 、 B( x2 , y2 )则 x1x22 ， y1y22x
9、12y121， x22y2 2122两式相减，得( x1x2 )( x1x2 )1 ( y1y2 )( y1y2 ) 0kABy1y222x1x2故直线 AB : y12( x 1)y 12( x1)消去 y ，得 2x24x30由x2y212(4) 242380这说明直线 AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。M评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（ 1）若中点 M 在圆锥曲线内， 则被点 M 平分的弦一般存在； （ 2）若中点 M 在圆锥曲线外， 则被点 M平分的弦可能不存在。例 3
10、. 解：设弦端点P( x1 , y1 ) 、 Q(x2 , y2 ) ，弦 PQ 的中点 M ( x01, y0 ) ，则 x0x1x22 x01， y1y22 y022222又y1x11 ， y2x2175257525两式相减得 25( y1y2 )( y1y2 )75( x1x2 )( x1x2 )0即 2 y0 ( y1y2 ) 3(x1x2 ) 0y1y23x1x22y0ky1y2333 ，即 y01x1x22 y02点 M 的坐标为 ( 1 ,1) 。22例 4. 解：设弦端点P( x1 , y1 ) 、 Q(x2 , y2 ) ，弦 PQ 的中点 M ( x, y) ，则x1x22
11、x ，y1y22 y又y12x1 21 ， y2 2x2 2175257525两式相减得 25( y1y2 )( y1y2 )75( x1x2 )( x1x2 )0即 y( y1y2 )3x( x1x2 ) 0 ，即y1y23xx1x2y3最新资料推荐ky1y23x3 ，即 xy0x1x23yxy0，得 P( 5 35353由 y 2x2, 5 3) Q(,)1222275 25点 M 在椭圆内它的斜率为3 的弦中点的轨迹方程为例 5.解：设椭圆的方程为y2x21，则 a2b250 a2b2设弦端点 P( x1 , y1 ) 、 Q(x2 , y2 ) ，弦 PQ 的中点 M ( x0 , y
12、0 ) ，则13x021x1x22 x01 ， y1y2 2 y01x0， y022又 y12x121 ， y2 2x2 21a 2b2a 2b 2两式相减得 b2 ( y1y2 )( y1y2 )a 2 ( x1x2 )( x1x2 )0即 b2 ( y1 y2 ) a 2 ( x1x2 ) 0y1y2a2a23xxb2b221联立解得a275 ， b225所求椭圆的方程是y2x 217525例 6. 解 ：设 P1 (x1, y1 ) ， P2 ( x2 , y2 ) 为 椭 圆 上关 于 直 线 y4x m 的 对 称两 点 ， P( x, y) 为弦 P1 P2 的 中 点 ，则3x1 24 y1212 ， 3x224 y2 212两式相减得， 3(x12x22 )4( y12y22 )0即 3(x1x2 )( x1 x2 ) 4( y1y2 )( y1y2 ) 0x1x22x ， y1 y22 y ，y1y21x1x24y3x这就是弦12 中点P轨迹方程。P P它与直线 y4x m 的交点必须在椭圆内联立y3x，得xm则必须满足 y233x2 ，y4xy3mm4即 (3m) 233 m2 ，解得2 13m2 13413134
