1、1考 点 10 导 数 在 研 究 函 数 中 的 应 用 与 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例一 、 选 择 题1. （2014 湖南高考文科9）若 ，则（ ）120xA. B.2121lnxex2 1lnexC. D.12x 122xx【解题提示】构造新函数，利用函数的单调性求解。【解析】选 C .选项 具体分析 结论A 构造函数 ，根据10,lnxexfexf的图象可知 在（0,1）上不单调10,ex 错误B 同上 错误C 构造新函数，101, 22 xxexegx所以 在（0,1）上是减函数，所以1221121, xxxeegx正确D 同上 错误2.（2014辽宁高考文科12）与
2、（2014辽宁高考理科11）相同当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是2,1x3240axa9()5,3()6,()6,2()4,38ABCD【解题提示】 采用分离常数法，利用导数求函数的最值，【解析】选.当 时，不等式 恒成立0,1x232 3440xaxa0,12令 ，则234(),0,1xg2489(),0,1xg设 ， 在 上为增函数，289h()hx,()h所以 ，则 上为增函数，240,1()0xg2340,1xg在的最大值 ；从而 ；234(),1gxmax()=（ 1） -66a当 时， ；=0xaR当 时，不等式 恒成立2,232 3440xx2,0，489()012,
3、0xg 2489() 1,0gxxx所以 上为减函数，在 上为增函数，234()2,1xg在 (1,)故 ，则 min=（ -1） a综上所述， 623.(2014陕 西 高 考 文 科 T10)如 图 ,修 建 一 条 公 路 需 要 一 段 环 湖 弯 曲 路 段 与 两 条 直 道 平 滑 连 接 (相切 ),已 知 环 湖 弯 曲 路 段 为 某 三 次 函 数 图 像 的 一 部 分 ,则 该 函 数 的 解 析 式 为 ( )A.y=错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 x3-错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 x2-x B.y=错 误 ！未 找 到 引 用 源 。 x3+错
4、 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 x2-3xC.y=错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 x3-x D.y=错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 x3+错 误 ！未 找 到 引 用 源 。 x2-2x【 解 题 指 南 】 根 据 已 知 图 像 可 以 得 到 函 数 图 像 在 与 x 轴 交 点 处 的 导 数 ,再 利 用 导 数 及 函 数 的 零 点 列出 三 元 一 次 方 程 组 ,解 之 即 得 所 求 .【 解 析 】 选 A.由 已 知 可 得 此 函 数 为 三 次 函 数 且 过 原 点 ,故 可 设 函 数 解 析 式 为 y=f(x)=ax3+bx2+cx
5、,所以 f(x)=3ax2+2bx+c,由 题 意 知 f(0)=-1,f(2)=3,f(2)=0,即 c=-1,12a+4b+c=3,8a+4b+2c=0,3解 之 得 a= ,b=- ,c=-1.所 以 y= x3- x2-x.4.(2014陕 西 高 考 理 科 T10)如 图 ,某 飞 行 器 在 4 千 米 高 空 水 平 飞 行 ,从 距 着 陆 点 A 的 水 平 距 离10 千 米 处 下 降 ,已 知 下 降 飞 行 轨 迹 为 某 三 次 函 数 图 象 的 一 部 分 ,则 函 数 的 解 析 式 为 ( )A.y=错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 x3-错 误 ！
6、 未 找 到 引 用 源 。 x B.y=错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 x3-错 误 ！ 未 找到 引 用 源 。 xC.y=错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 x3-x D.y=-错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 x3+错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 x【 解 题 指 南 】 根 据 函 数 的 图 象 可 以 得 到 函 数 的 极 值 点 ,再 利 用 导 数 求 得 解 析 式 的 极 值 点 ,二 者 能 够统 一 的 即 为 所 求 .【 解 析 】 选 A.由 函 数 图 象 可 得 函 数 的 极 值 点 为 5,对 四 个 选 项 中 函 数 解
7、析 式 进 行 求 导 ,只 有 选 项 A的 函 数 解 析 式 求 导 得 y=3 x2- ,令 y=0 得 x=5,所 以 只 有 选 项 A 的 解 析 式 与 图 象 相 统 一 ,故选 A.5. (2014新 课 标 全 国 卷 高 考 文 科 数 学 T11)若 函 数 f(x)=kx-lnx 在 区 间 (1,+ )单 调 递 增 ,则k 的 取 值 范 围 是 ( ) A. B. C. D. ,12,),【 解 题 提 示 】 利 用 函 数 f(x)在 区 间 (1,+ )上 单 调 递 增 ,可 得 其 导 函 数 f(x) 0 恒 成 立 ,分 离 参 数 ,求 得 k
8、的 取 值 范 围 .【 解 析 】 选 D.因 为 f(x)在 (1,+ )上 递 增 ,所 以 f(x) 0 恒 成 立 ,因 为 f(x)=kx-lnx,所 以 f(x)=k- 0.即 k 1 .所 以 k 1,+ ),选 Dx6. (2014新 课 标 全 国 卷 高 考 理 科 数 学 T8)设 曲 线 y=ax-ln(x+1)在 点 (0,0)处 的 切 线 方 程 为y=2x,则 a= ( )A.0 B.1 C.2 D.3【 解 题 提 示 】 将 函 数 y=ax-ln（ x+1） 求 导 ,将 x=0 代 入 ,利 用 导 数 的 几 何 意 义 求 得 a.【 解 析 】
9、选 D.因 为 f(x)=ax-ln(x+1),所 以 f(x)=a- .所 以 f(0)=0,且 f(0)=2.联 立 解 得 a=3.故1选 D.7. (2014新 课 标 全 国 卷 高 考 理 科 数 学 T12)设 函 数 f(x)= sin .若 存 在 f(x)的 极 值 点 x03xm满 足 + 2.故 选 C.248.（ 2014四 川 高 考 理 科 9） 已 知 ， ， 现 有 下 列 命 题 ： )1ln()l()xxf)1,(； ； .其 中 的 所 有 正 确 命 题 的 序 号 是 （ ）)(xff(2)1(xf2A. B. C. D. 【 解 题 提 示 】 可
10、 直 接 验 证 都 正 确 ， 对 于 ， 可 以 利 用 奇 偶 性 和 导 数 确 定 其 单 调 性 来 加 以 判 断 【 解 析 】 选 A. 对 于 ： ， 故 正 确 ； 对 于 ： ()ln1)l()(fxfx，()ln1)llfxx22211lnln)xfxlnx2()f， 故 正 确 ； 对 于 ： 当 时 ， ， 令,0,)x|()|(0ff（ ） ， 因 为 ，()2ln(1)l(gxfx,1 21) 01xgx所 以 在 单 增 ， ，0,)2()gfg即 ， 又 与 为 奇 函 数 ， 所 以 成 立 ， 故 正 确 .()f(fyx|2|fx【 误 区 警 示
11、】 本 题 容 易 错 误 理 解 为 中 的 ， 与 中 的 不 对 应 ， 导 致 错2()1fR()fx)1,(选 C二 、 解 答 题9. (2014湖北高考文科T13)(本小题满分 14分) 为圆周率,e=2.71828为自然对数的底数.(1)求函数 f(x)=错误！未找到引用源。的单调区间.(2)求 e3,3e,e , e,3 , 3这 6个数中的最大数与最小数.【解题指南】(1)先求函数定义域,然后在定义域内解不等式即可得到单调增、减区间.(2)由 e0,即 0e时,函数 f(x)单调递减.故函数 f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+).(2)因为 e 3;由 0,f(x)=0 有两个实数根 x=-1+ 和 x=-1- ,1a1a此时(-,-1- ),(-1+ ,+)是函数 f(x)的单调递增区间,(-1- ,-1+ )是函数1a1a 1af(x)的单调递减区间.综上,当 a1 时,函数 f(x)只有单调递增区间(-,+);当 a0,x0= (x0= 舍去),且 0f(1)的 x的集合(用区间表示).【解题提示】(1)设 t=x2+2x+k,解不等式 t2+2t-30后再解关于 x的不等式.
