1、第2章 静电场,2.1 自由空间中场的基本方程和特性,1. 静电场的基本方程,由 ，电场可以用一个标量场的梯度表示:,可见，静电场是有散场、无旋场。,2. 电场强度与电位,电场力将点电荷q 沿任意路径从P点移动到Q点所作的功为,由此定义PQ两点间的电位差（电压）为：,3. 电场的分布,点电荷的电场为：,多个点电荷的电场为：,线电荷的电场为：,面电荷的电场为：,体电荷的电场为：,如果以Q点为零电位参考点，则P点电位为：,如果以无穷远点为零电位参考点，则P点电位为：,点电荷的电位为：,多个点电荷的电位为：,线电荷的电位：,面电荷的电位：,体电荷的电位：,4. 电场线和等位面,E 线的定义:线上任一
2、点的切线方向与该点的电场强度方向一致。,等位面:,5. 电偶极子,相距很小距离l 的一对等值异号的电荷，称为电偶极子.,偶极子的电矩，简称电偶极矩:,远离电偶极子的一点P(r,)的电位:,其中:,故得 :,偶极子的电场,因为rl，将r1、 r2用二项式定理展开，略去高阶项，得,2.2 导体和电介质,静电场中的导体处于静电平衡状态； 导体内部电场处处为零； 所有电荷分布在导体表面上；,1. 静电场中的导体,2. 静电场中的介质,介质极化现象(演示）,极化强度：介质极化后每单位体积内电偶极矩的矢量和，即,导体内部是等位体，导体表面是等位面； 导体表面的电场垂直于导体表面。,大多数介质在电场作用下产
3、生极化时，其电极化强度P与介质中的合成电场强度E成正比，即,P = e0E,体积元dV内的等效电偶极子的电偶极矩p = P(r)dV，它在远区P点处产生的电位应为,体积V内所有电偶极矩在P点产生的合成电位为,根据矢量恒等式,上式可表示为,由此定义极化电荷的面密度与体密度分别为,在引入极化电荷密度描述的基础上，类比于自由电荷产生的电场，极化电荷在真空中所产生的电场，可分别通过电位 和场强E表示为,2.3 电介质中的电场,1. 电介质中的高斯定律,电介质中高斯定理的微分形式为,上式可以转化为,由此定义电位移矢量,电介质中高斯定理的积分形式为,2. 介电常数 击穿场强,对于均匀且各向同性的线性电介质
4、,令,则有，,其中， 为相对介电常数，为介电常数。,某种介质材料所能承受的最大场强就称为该电介质的击穿场强，或称为该材料的电介质强度。,3. 不同媒质分界面上的边界条件,(1)两种不同介质分界面上的边界条件,E 的切向分量满足的边界条件,或,D 的法向分量满足的边界条件,或, 若两种介质均为线性且各向同性，即D1=1E1，D2=2E2，应有1=1，2=2。两种介质分界面上通常不可能存在面分布形式的自由电荷( = 0),两式相除，即得,介质分界面上的极化电荷,结合,折射率,(2) 导体和介质分界面上的边界条件,E2,设导体为媒质1，介质为媒质2。在导体中，E1=D1= 0；分界面上的边界条件,(
5、3) 由电位表示的边界条件,对应,有,；,对应,有,对应导体和介质分界面上的边界条件,2.4 边值问题,1. 边值问题的分类,泊松方程和拉普拉斯方程,把,代入,得,对于均匀介质， 为常数。再代入,得,对于场中无自由电荷分布( = 0)的区域，,在直角坐标系中,定解条件,(1)给定的是场域边界S上的电位值，边界条件称为第一类边界条件，它与泛定方程组合成第一类边值问题。,(2)给定的是场域边界S上电位的法向导数值，边界条件称为第二类边界条件，它与泛定方程组合成第二类边值问题。,(3)给定的是场域边界S上电位及其法向导数的线性组合，边界条件称为第三类边界条件，它与泛定方程组合成第三类边值问题。, 如
6、果场域扩展至无界空间，则还必须给出无限远处的边界条件。对于电荷分布在有限区域的无界电场问题，根据物理问题的本质，在无限远处(r)应有,这表明r 在无限远处是有界的，即电位 在无限远处为零(r)| r= 0)。,2. 静电场解的唯一性,设V 中存在两个电位函数 1和2 ，在给定第一类或第二类边值时，均满足泊松方程，即,令 1-2 = d，显然,对已知的任意两个连续可导的标量函数 和 ，应有,令 = = d ，代入上式得,无论对于第一类边界还是第二类边界，均有,在整个场域内必有 d = 0。由此得证 1 = 2 ，即只有唯一可能的解答。,3. 直接积分法,例： 二块半无限大的导电平板构成夹角为 的
7、电极系统，设板间电压为U0，如图所示。试求导板间电场，并绘出场图。,解 可以判定，(r)=()仅为一个坐标变量 的函数，因而可以写出如下的第一类边值问题：,将泛定方程直接积分二次，即得通解为,由给定的二个边界条件，可以确定式中待定的积分常数C1和C2为，,因此，电位的解为：,电场强度的解为：,4. 分离变量法,(1)直角坐标系中的平行平面场问题,平行平面场中位函数U(x，y) 在场域内满足拉普拉斯方程,设定分离变量形式的试探解，即令U(x，y) =X(x)Y(y)，代入方程得,在x和y取任意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现记该常数为 (称为分离常数) ：, 取不同值时，两个常微分方程
8、得到不同形式的解：, =0 时，,时，,时，,位函数U的一般解可记作：,例：一长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，而顶盖电位 =0，求槽内电位分布。,解：槽内电位满足的基本方程和边界条件为,在x方向只能选择正弦函数，在y方向只能选择双曲正弦函数,且：,因此：,带入最后一个边界条件，得,为确定En的值，可对上式两边同乘以 ，其中K为整数，然后从x = 0到x = a 进行积分，得,上式左边结果为 ：,(K为奇数) (K为偶数),上式右边结果为 ：,(nK) (n = K),因此：,(n为奇数) (n为偶数),最终得待求电位 (x，y)的解答是,(2)圆柱坐标系中的平行平面场问
9、题,设位函数与z坐标无关，U(r) = U(，)，满足拉普拉斯方程,令试探解U(，) = R()Q()，代入方程，经整理得,其中，n2为分离常数，偏微分方程转化为下列两个常微分方程,和,当n0时, R()=A10+A20ln； Q()=B10+B20,当n 0时, R()=A1nn+A2n-n； Q()=B1ncosn+ B2nsinn,例：一横截面半径为a，介电常数为 1的长直介质圆柱体放置在均匀的外电场E0中(场强值为E0，方向与介质圆柱的轴线相垂直)，均匀场中介质的介电常数为2，如图所示。求圆柱体放入后，场中的电位和电场强度。,均匀外电场中的介质圆柱体,解圆柱体内外的介质不同，故应分别以
10、1和2表示圆柱体内外的电位函数，它们都满足拉普拉斯方程，即,位函数U的一般解可记作：,(0 a),在圆柱坐标系中x=cos，取坐标原点为电位参考点，则与均匀外电场 E0= E0i 相应的电位函数可表示为：0= -E0 x = -E0cos 。由于 时介质圆柱体产生的极化电场影响应当消失，故该处给定的电位值应与由均匀外电场引起的电位0相一致，即有,对于圆柱表面( = a)处，不同介质分界面上的边界条件应为,本例中应取A10= A20 =B10= B20= B2n= 0，即,由条件（1）， 时,用cosm乘上式两边，对从02积分，待定系数法，得,由条件（1）， A1= -E0。在圆柱内，因为 =0处电位为有限值，所以 A2n =0，且只 有A10。由条件（2），可得,再由条件（3），可得,联立求解可得,最后，待求位函数的解答为,
