1、第一章 算法初步1.3 算法案例例：求下面两个正整数的最大公约数：（ 1）求 25和 35的最大公约数（ 2）求 49和 63的最大公约数25（ 1） 5535749（ 2） 77639所以， 25和 35的最大公约数为 5所以， 49和 63的最大公约数为 7思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？例：如何算出 8251和 6105的最大公约数？辗转相除法与更相减损术一、辗转相除法（欧几里得算法）1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数
2、。2、步骤 （以求 8251和 6105的最大公约数的过程为例）第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146结论： 8251和 6105的公约数就是 6105和 2146的公约数，求 8251和 6105的最大公约数，只要求出 6105和 2146的公约数就可以了。第二步 对 6105和 2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理 6105和 2146的最大公约数也是 2146和 1813的最大公约数。 完整的过程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=14
3、82+37148=374+0例： 用辗转相除法求 225和 135的最大公约数225=1351+90135=901+4590=452显然 37是 148和 37的最大公约数，也就是 8251和6105的最大公约数 显然 45是 90和 45的最大公约数，也就是 225和 135的最大公约数 思考：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？ S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复 S1，直到余数为 0辗转相除法是一个反复执行直到余数等于 0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。m = n q r用程序框图表示出右边的过程r=m MOD nm = nn = rr=0?是
4、 否8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？ 程序框图： 开始输入 m,nr=m MOD nm=nr=0?是否n=r输出 m结束思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？程序：INPUT “m,n=”;m,nDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND1.定义： 所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步
5、骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。二、更相减损术2、方法：例 : 用更相减损术求 98与 63的最大公约数 .解：由于 63不是偶数，把 98和 63以大数减小数，并辗转相减 98 63 3563 35 2835 28 728 7 2121 7 1414 7 7所以， 98和 63的最大公约数等于 7 INPUT m, nIF mnIF dn THENm=dELSEm=nn=dEND IFd=m-nWENDd=2 k*dPRINT dEND思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？（ 1） 设计 求多 项 式当 x=5时 的 值 的算法，并写出程序。（ 2）有没有更高效的算法？能否探求更好的算法，来解决任意多 项 式的求解 问题 ？三、秦九韶算法三、秦九韶算法引 导 学生把多 项 式 变 形 为 ：思考：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么 变 形后的式子中有哪些 “一次式 ”？ x的系数依次是什么？
