1、4.1 平面线性系统的初等奇点,考虑到一般的 平面线性系统,（4.1.1）,其中 为常数矩阵 。,如果 ，则 是系统,这时的奇点称为系统的高阶奇点。,则称,非为孤立奇点,而非孤立奇点充满一条直线，,（Jordan）标准型，且若当标准型的形式由,的特征根的不同情况而具有以下几种形式：,因而对系统（4.1.1）作变换,即 ，其中,下边讨论系统（4.1.1）的初等奇点。,根据线性代数的理论，必定存在非奇异,实矩阵 ，使得 成为 的若当,是上边所说的实可逆矩阵，则系统 (4.1.1)变为:,(4.1.2),从,平面系统（4.1.2）的轨线结构，至于,原方程组(4.1.1)的奇点及附近的轨线结构只须,用
2、变换,由于变换 不改变奇点的位置与类,型 ，因此我们只对线性系统的标准方程组给出,讨论。,返回到就行了。,而变换的几种形式就能容易的得出,记,设,则特征方程为 ，特征根为,(4.1.3),由特征根的不同情况分为四种情况来讨论:,的特征方程为：,1. 特征根为不相等的同号实根,此时对应的标准型为,(4.1.4),容易求出其通解为,（4.1.5）,其中,对应的,对应的,当,是任意常数，,对应于零解，,轴正负半轴都是轨线；,轴正负半轴是轨线；,时候，再分两种情况讨论：,这时消去 得,（4.1.6）,所以轨线均为以 顶点的抛物线，且,当 时由,当 时,即规线切 轴趋于 点。,当 时,即轨线切 轴趋于
3、点。,且由于(4.1.6)知此时原点 是渐近稳定的，,所以系统在原点及附近的相图如下图所示：,图4.1(a),图4.1(b),我们把这样的奇点称为稳定结点。,这时关于(1)的讨论在此适用只需将,改为 所以此时的奇点称为不稳定结点，,轨线分布如图4.1类似，仅是图上的箭头反向。,这时仍有(4.1.5)和(4.1.6)，所以两个坐标轴的,正负半轴仍为轨线，但是由于 ，奇点附近,的轨线成为双曲型的,且若,则当 时，,若 ，则当 时，,轨线均以 轴 轴为渐近线，系统在原点及,附近的轨线分布如:,图4.2(a),图4.2(b),这种奇点称为鞍点，它是不稳定奇点。,这时由Jordan块的不同分为两种：,(
4、1) 标准型为,(4.1.7),且当 时，,即 是渐近稳定的；,反之，当 时 为不稳定的。此时的,奇点称为临界结点（星形结点）.,临界结点（星形结点）.,(2)若Jordan块为二阶时，标准型为,(4.1.8),其通解为,(4.1.9),仍对应的是零件即奇点,对应的是,不再是轨线 ，,轴,轴为轨线，但是,时消去,得出：,(4.1.10),由上式知：,又因为,所以有,因此所有轨线均切,当,称为退化结点 。且当,轴于,点，这种奇点,时为稳定的退化结点，,时为不稳定的退化结点。,退化结点,4.,这时系统的标准型为,(4.1.11),取极坐标变换 ,(4.1.11)即化为:,(4.1.12),下边分两
5、种情况讨论:,其中 是任意常数，消去 得,这是一族对数螺线，这样的奇点称为焦点，,且当 时是稳定焦点， 时是不稳定焦点，,的正负决定了 增加时轨线是顺时针还是逆,时针绕原点旋转的。,（1）,此时解(4.1.12)得出,稳定焦点和不稳定焦点,(2),这时特征值是一对纯虚数, 于是系统在极坐标下的通 解为：,为任意的常数且,为中心的同心圆，这样的奇点称为中心，,中心是稳定奇点但不是渐近稳定的。,。显然这是一族以原点,归纳上边的讨论得出，系统(4.1.1)的奇点,是初等奇点时候根据它的系数矩阵,特征方程(4.1.3)有如下分类：,1）当,2）当,定的，,3)当,化结点,且,的,时，,为鞍点；,是稳,
6、且,时是结点且,不稳定的；,是临界结点或退,且,时,是不稳,是稳定的，,定的；,由此知道参数 平面，被 轴，正 轴,别对应于系统的鞍点区，焦点区，结点区，,及曲线 分成了几个区域，分,中心区，退化和临界结点区等等，,点。,但是 平面的 轴对应的是系统的高阶奇,4)当 时是 焦点且,为稳定的， 为不稳定的;,5)当 且 时， 是中心。,奇点类型和稳定性在参数p-q平面的分类示意图,例 4.1 判断下面系统的奇点类型并作出相图。,解:由定义知,，所以,奇点 (0,0) 稳定结点，为了确定轨线进入原点,的方向，令,知必满足,为轨线的切线斜率。由方程,解之得,，,即轨线切,或,进入奇点。,在,轴的正半轴上,在,轴的负半轴上,所以分析得出轨线切,在,轴的正半轴上,在,轴的负半轴上,进入 (0,0),相图见图4.3。,图 4.3,例4.1.6 画出下面的线性系统的奇点附近相图,解: 容易算出,所以,是系统的鞍点。,我们求解如下：,(当 时 ),得到 .同样的可以分析画出奇点附,近的轨线分布如图4.4所表示。,图4.4,
