1、一个递推方法在高考试题中重现2008 年全国高考理科试卷压轴题考查了独特的“递推、放缩与分类”方法的综合运用，这是 1984 年全国高考理科数学试题压轴题所体现的数学思想方法的重现，或说复制。所以，2008 年这道压轴试题的设计也算是高考命题中的一个惊人之举！试题一（1984 年全国高考理科数学试题八，满分 12 分）设 ，给定数列 ，其中 ， 。求证：2anx1a)2,1()21nxn（） ， ；nx1(,2)n（）如果 ，那么 ；3a1(,)nnx（）如果 ，那么当 时，必有 。lg34a13nx证明：（）即证 。12nx， ， ，1121()x 22112()xx1a。21假设 ，则*k
2、xN，2112112()kkk kkx，22112()kkkxx。21综上所述，根据数学归纳法，命题成立。（）由（） ，得，21 102()kkk kkxxx。1121122 2nnnnx ax 又 ，3a，即 。12nnx1*2nnxN（）任取 ，分类讨论：*N若 ，则由（）得， 。3nx13nx若 ，则 ，则对一切 ，都有12 1,2kn，()14kkkxx。 （递推、放缩）1213nn ax，lg43na。121343nnnxx试题二（2008 年全国高考卷（）理科数学试题 22，满分 12 分）设函数 ，数列 满足 ， 。lfxxna10*1nnafN（）证明：函数 在区间 上是增函数
3、；f,（）证明： ；1na（）设 ，整数 ，证明： 。1,b1lnabk1kab解：（） 当 时， ，0,xlln0fxx在区间 上是增函数。f1（） ，1,a由（）得， ，112111limlnaffaa即 。120假设 ，则k，112110limln0kkkkkafaa由数学归纳法可知， ，从而 。n1n（）递推： 1lkkaa1nlk 112lllnkaa方缩：，110lnl0,21ii ii k。2l lnk kkaaaa分类：若 ，则 ；kb1kb若 ，则 ，所以aln0a11lnk ak，且整数 ， ，1,ba1lb10，11lnkb故 。ka评注：为了对比，我们有意为两道试题写出比较一致的解法。不难看出，两道试题都体现了“数学问题的结论是逐渐接近的” ，都以递推接近结论，都用分类讨论完成推证；此外，1984 年的试题三个结论都考查的是递推和数学归纳法，2008 年的试题还考查了导数知识，体现了中学数学教学内容和高考命题都在与时俱进；1984 年的试题给出的递推公式可以求通项公式，而 2008 年的这道题目则不能；有人说 2008 年这道考题的一个重要背景是不等式，笔者认为，这种意义是很平凡的，而重在放缩接近结论；但是，好像Bernouli今年理科考生都叫难的压轴题还没有达到 1984 年那道试题的难度。
