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计算流体力学5.ppt

上传人:HR专家 文档编号:11578317 上传时间:2020-07-05 格式:PPT 页数:59 大小:596.50KB
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1、第五章 边界元法、有限体积法和有限分析法,基本思想:将控制微分方程转化为边界积分方程,再用有限元法来处理边界积分方程。,特点: 1.区域内满足微分方程,边界上近似满足边界条件。 2.维数减少一个,可以简化计算。 3.精度一般高于有限元法。 4.系数矩阵不对称并为满阵,需要解析函数的基本解, 目前主要适用于线性问题。,一、边界元法(Boundary Element Method或BEM),1.边界积分方程的建立,例:Laplace方程,其伽辽金方程为,(在内) (在1上) (在2上),当近似解不要求满足边界条件时,由格林公式可得:,引入权函数w=u代入上式,而,代入上式得,-(a) 称为边界元出

2、发方程。,若选权函数w满足,而不要求满足边界条件时,则,选择另一权函数w,使其对区域内任一点i满足,(在i点) (不在i点处),则,由(c),则(a)式变为,说明:内点的函数值可用边界上的函数值及其 法向导数值沿区域的边界积分来表示。 满足(c)式的解称为基本解。对于各向同性介质,r-区域内任意点i到边界积分点的距离。,将i点移到边界上,则,(d)式称为边界积分方程。,(d)式也可写为为,3.数值离散,(1)边界上剖分和插值,a.常数单元(1节点),取单元中点为节点,则,b.线性单元(2节点),取单元两端点为节点,则,c.二次单元(3节点) 取中点及两端点为节点,则,(2)数值化,边界积分方程

3、(e)的离散形式,若采用常数单元:,引入记号,则,将已知值,或写成矩阵形式,等代入,整理成代数方程组形式,式中,解方程组后,则全部边界上u,q为已知, 再求出区域内任意点u值为,二、有限体积法(Finite Volume Method或FVM),1.基本思想: 将计算区域划分为一系列不重复的控制体积,使每个网格点周围有一个控制体积,将待解的微分方程对每一个控制体积积分,便得出一组离散方程。,2.数值离散的一般步骤,例:一维热传导问题,K-热传导系数 T-温度 S-单位体积内热量的产生率 P,E,W-节点 e,w-控制体交界面(一般为中点),设y,z方向为单位厚度,则控制体体积为,将(a)式对该

4、控制体积分,在节点间T值的插值变化规律为: (1)阶梯形剖面 节点上的T值为该点周围控制体内的数值。 但dT/dx在w,e上无定义。,(2)分段线性剖面,令,则,或,足标nb表示相邻节点.,源项的处理: 设,于是,标准形式不变。,3.非恒定问题的处理,设T为阶梯形剖面,则,设,则,式中,三、有限分析法(Finite Analytic Method或FAM),1.基本思想: 划分子区域,在子区域中求局部解析解。 导出一个代数方程,将节点值联系起来,将所有 局部解析解汇集在一起求解。,2.一般原理 设微分方程,(1) 网格划分,由相邻四个网格构成一个单元。 E,W,S,N,C-东,南,西,北,中,

5、(2)单元分析解,假设:边界条件近似为,系数a0,a1,a2由东边NE,NC,SE节点的f值确定。,用分离变量法求线性微分方程的解析解,如内节点P,(3)代数方程的建立,对单元中心节点P(i,j)有,解方程组即可。,例:Laplace方程,边界条件可以用二次多项式来表示,如,系数可由三个边界节点定出,如,单元内解拉普拉斯方程,以中心节点代入,取h=k=1,则边中点与角点,若边中点0.25,角点0.0,则为5点格式。 而本例为9点格式,更为精确。,其中,2.矩形单元,线性插值(4节点单元),设,则,二次插值(9节点单元),略,曲线四边形单元,可采用双线性变换,3.三维情形,(1)四面体: 4节点

6、单元,10节点单元,(1)正六面体: 8节点单元,20节点单元(略),例(同前): 步骤(3),积分整理得,(4)解出,(5)近似解,4.矩量法,取权函数,则,例(同前): 步骤(3)取,积分整理得,(4)解出,(5)近似解,5.伽辽金法(Galerkin),取基函数本身作权函数,即取,则,例(同前): 步骤(3)取,构造二级近似解,余量,代入伽辽金 加权积分式,积分,(4)解出,(5)近似解,此例题精确解为,由各种解比较结果可见,伽辽金法精度最高。 因此,该方法获得广泛应用。,3 切削叶轮外径以调节泵的性能,切削后的叶轮与切削前不再符合几何相似. 叶轮切削前后的速度比,叶轮切削前后性能参数的

7、关系如下 (近似认为切削前后容积效率相等,叶片排挤系数相等, 水力效率相等,涡流系数相等):,1.低比转数的泵(ns150) 叶片出口宽度b2小,近似认为叶轮切削前后,流量比,扬程比,轴功率比,上述三个关系式称为第一切削定律。,2.中、高比转数的泵(ns150) 近似认为切削前后叶轮出口面积不变,上述三个关系式称为第二切削定律。,切削叶轮调节工况分析 根据第一切削定律,可以推导得出其切削曲线是一条过原点的直线; 根据第二切削定律,可以推导得出其切削曲线是一条过原点的 二次抛物线。B点和C点是满足第一切削定律的工况点, B点和D点是满足第二切削定律的工况点。,切削叶轮的调节方法,其切削量不能太大

8、, 否则效率明显下降。泵的最大切削量与比转数有关。 泵的比转数 60,允许最大切削率为20 泵的比转数120,允许最大切削率为15 泵的比转数200,允许最大切削率为11 泵的比转数300,允许最大切削率为9 泵的比转数350,允许最大切削率为7 泵的比转数350以上,允许最大切削率为0 所谓切削率,即,切削叶轮的调节方法,不增加额外的能量损失,设备效率下降少, 是一种节能的调节方法,但需要停机换轮,因此常用于 水泵的季节性调节。,4. 改变并联泵台数的调节方法,在大型排灌站或冷、热水系统中,可用改变并联泵运行台数 的方法进行流量调节,这是一种很简单、经济的调节方式。 因为泵并联台数不同,其特

9、性曲线各异。,【例13-1】已知某水泵性能HQ曲线、Q曲线如下图, 转速n=2900 r/min。管路阻抗SH=76000 s2/m5,静压头Hst=19m。 试求: (1)水泵的流量Q、扬程H、效率及轴功率N。 (2)用阀门调节的方法使流量减少25,求此时水泵的 流量、扬程、轴功率以及阀门消耗的功率? (3)用变速调节的方法使流量减少25,求调节后的转速?,【解】(1)由已知,管路特性方程为,根据表中数据,描绘出管路特性曲线如图, 与水泵HQ曲线交于点A。 查图QA=8.510-3 m3/s HA=24.5 m ,A=65,(2)阀门调节使流量减少25,新的工作点为B,在水泵的特性曲线上查得 HB=28.8 m,B=65,过B点作垂线与管路特性曲线交于点C,采用阀门调节,增加的水头损失,阀门消耗的功率,(3)变速调节使流量减少25,新的工作点为C 与点C相似的工况点应为过点C且经过原点的二次抛物线和 泵的HQ曲线的交点D。因为 QC=6.3810-3 m3/s HC=22.09 m , 则可得到过点C且经过原点的二次抛物线方程,在图中描绘出该方程曲线与泵的HQ曲线交于点D, 查得QD=7.210-3 m3/s 则根据相似律,新的转速,第四节 泵与风机的选择、安装和运行,

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