1、,第十二章 排队论,引 言 排队论是研究排队系统（又称随机服务系统）的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。 有形排队现象：进餐馆就餐，到图书馆借书，车站等车，去医院看病，售票处售票，到工具房领物品等现象。,无形排队现象：如几个旅客同时打电话订车票；如果有一人正在通话，其他人只得在各自的电话机前等待，他们分散在不同的地方，形成一个无形的队列在等待通电话。 排队的不一定是人，也可以是物。如生产线上的原材料，半成品等待加工；因故障而停止运行的机器设备在等待修理；码头上的船只等待装货或卸货；要下降的飞机因跑道不空而在空中盘旋等。,当然，进行服务的也不一定是人，可以是跑道，自动售货机，公共汽车等。顾
2、客要求服务的对象。服务员提供服务的服务者（也称服务机构）。顾客、服务员的含义是广义的。,排队系统类型：,服务台,顾客到达,服务完成后离开,单服务台排队系统,排队系统类型：,服务台2,顾客到达,服务完成后离开,S个服务台，一个队列的排队系统,服务台s,服务台1,排队系统类型：,服务台2,顾客到达,服务完成后离开,S个服务台， S个队列的排队系统,服务台s,服务台1,服务完成后离开,服务完成后离开,排队系统类型：,服务台1,顾客到达,离开,多服务台串联排队系统,服务台s,排队系统类型：,服务机构,聚,散,随机聚散服务系统,（输入）,（输出）,随机性顾客到达情况与顾客接受服务的时间是随机的。一般来说
3、，排队论所研究的排队系统中，顾客相继到达时间间隔和服务时间这两个量中至少有一个是随机的，因此，排队论又称随机服务理论。,排队系统的描述 实际中的排队系统各不相同，但概括起来都由三个基本部分组成：输入过程，排队及排队规则和服务机构。输入过程顾客总体（顾客源）数：可能是有限，也可能是无限。,河流上游流入水库的水量可认为是无限的；车间内停机待修的机器显然是有限的。到达方式：是单个到达还是成批到达。库存问题中，若把进来的货看成顾客，则为成批到达的例子。,顾客（单个或成批）相继到达的时间间隔分布：这是刻划输入过程的最重要内容。令T0=0，Tn表示第n顾客到达的时刻，则有T0T1 T2. Tn 记Xn=
4、Tn Tn-1 n=1,2,则Xn是第n顾客与第n-1顾客到达的时间间隔。 一般假定Xn是独立同分布，并记分布函数为A(t)。,Xn的分布A(t)常见的有：定常分布（D）：顾客相继到达的时间间隔为确定的。如产品通过传送带进入包装箱就是定常分布。最简流（或称Poisson)（M）：顾客相继到达的时间间隔Xn为独立的，同为负指数分布，其密度函数为：,a(t)=,e- t t0,0 t 0,排队及排队规则排队有限排队排队系统中顾客数是有限的。无限排队顾客数是无限，队列可以排到无限长（等待制排队系统）。,有限排队还可以分成：损失制排队系统：排队空间为零的系统，即不允许排队。（顾客到达时，服务台占满，顾
5、客自动离开，不再回来）（电话系统）混合制排队系统：是等待制与损失制结合，即允许排队，但不允许队列无限长。,混合制排队系统：队长有限。即系统等待空间是有限的。例：最多只能容纳K个顾客在系统中，当新顾客到达时，若系统中的顾客数（又称为队长）小于K，则可进入系统排队或接受服务；否则，便离开系统，并不再回来。如水库的库容是有限的，旅馆的床位是有限的。,混合制排队系统：等待时间有限。即顾客在系统中等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客将自动离开，不再回来。如易损失的电子元件的库存问题，超过一定存储时间的元器件被自动认为失效。,混合制排队系统：逗留时间（等待时间与服务时间之和）有限。例：
6、用高射炮射击飞机，当敌机飞越射击有效区域的时间为t时，若这个时间内未被击落，也就不可能再被击落了。,损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如记s为系统中服务台个数，则当k=s时，混合制即为损失制；当k=时，即成为等待制。,排队规则 当顾客到达时，若所有服务台都被占有且又允许排队，则该顾客将进入队列等待。服务台对顾客进行服务所遵循的规则通常有：先来先服务（FCFS）,后来先服务（LCFS）。在许多库存系统中就会出现这种情况，如钢板存入仓库后，需要时总是从最上面取出；又如在情报系统中，后来到达的信息往往更重要，首先要加以分析和利用。,具有优先权的服务（PS）。服务台根据顾客的优先权的不同进行服务
7、。如病危的病人应优先治疗；重要的信息应优先处理；出价高的顾客应优先考虑。,服务机制 包括：服务员的数量及其连接方式（串联还是并联）；顾客是单个还是成批接受服务；服务时间的分布。记某服务台的服务时间为V，其分布函数为B(t),密度函数为b(t),则常见的分布有：,定长分布（D）：每个顾客接受的服务时间是一个确定的常数。负指数分布（M）：每个顾客接受的服务时间相互独立，具有相同的负指数分布：,b(t)=,e- t t0,0 t0为一常数。,K阶爱尔朗分布（En）：,b(t)=,k(kt)k-1(K-1)!,= e- kt,当k=1时即为负指数分布；k 30,近似于正态分布。当 k 时，方差 0 即
8、为完全非随机的。,排队系统的符号表示：“Kendall”记号：X / Y/ Z / W其中：X表示顾客相继到达的时间间隔 分布； Y表示服务时间的分布； Z表示服务台个数； W表示系统的容量，即可容纳的 最多顾客数。,例 12-1 M /M/ 1 / M表示顾客相继到达的时间间隔服从负指数分布； M表示服务时间为负指数分布；单个服务台；系统容量为无限（等待制）的排队模型 。,例 12-2 M /M/ S / K 表示顾客到达的时间间隔服从负指数分布； 服务时间为负指数分布；S个服务台；系统容量为K的排队模型 。当 K= S 时为损失制排队模型；当 K= 时为等待制排队模型。,排队系统的主要数量
9、指标：系统状态：也称为队长，指排队系统中的顾客数（排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和）。排队长：系统中正在排队等待服务的顾客数。,记 N(t)：时刻t(t0)的系统状态；pn(t)：时刻t系统处于状态n的概率；S：排队系统中并行的服务台数；n：当系统处于状态n 时，新来的顾客的平均到达率（单位时间内到达的平均顾客数）；n：当系统处于状态n 时，整个系统的平均服务率（单位时间内可以服务完的平均顾客数）；,当n为常数时记为；当每个服务台的平均服务率为常数时，记每个服务台的服务率为，则当n s 时，有n=s。因此，顾客相继到达的平均时间间隔为1/ ，平均服务时间为1/ ，令= / s，则为系
10、统的服务强度。,pn(t)称为系统在时刻t的瞬间分布，一般不容易求得，同时，由于排队系统运行一段时间后，其状态和分布都呈现出与初始状态或分布无关的性质，称具有这种性质的状态或分布为平稳状态或平稳分布，排队论一般更注意研究系统在平稳状态下的性质。,排队系统在平稳状态时一些基本指标有：Pn :系统中恰有n个顾客的概率；L：系统中顾客数的平均值，又称为平均队长；Lq：系统中正在排队的顾客数的平均值，又称为平均排队长； T：顾客在系统中的逗留时间；,W=E(T) ：顾客在系统中的平均逗 留时间；Tq：顾客在系统中的排队等待时间； Wq=E(Tq)：顾客在系统中的平均 排队等待时间。,排队论研究的基本问
11、题：通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及数字特征，了解系统运行的基本特征。统计推断问题：建立适当的排队模型是排队论研究的第一步，建立模型过程中，系统是否达到平稳状态的检验；顾客相继到达时间间隔相互独立性的检验，服务时间的分布及有关参数的确定等。,排队研究的基本问题：系统优化问题：又称为系统控制问题或系统运营问题，其基本目的是使系统处于最优的或最合理的状态。包括：最优设计问题和最优运营问题。,M/M/S 等待制排队模型单服务台问题，又表示为M/M/1/ ：顾客相继到达时间服从参数为的负指数分布；服务台数为1；服务时间服从参数为的负指数分布；系统的空间为无限，允许永远排队。,队长的分
12、布 记 Pn=pN=n , n=0,1,2.为系统达到平衡状态后队长的概率分布， 则 n=；n= ，= /1， 有Pn= (1-)n n=0,1,2.,几个数量指标平均队长：L= n Pn= n (1-)n= / (1-) = /(- )平均排队长：Lq= (n-1) Pn= 2/ (1-)= 2/ (- ),几个数量指标平均逗留时间：W=E(T)= 1/(- )平均等待时间：Wq= / (- ),它们之间有关系：L= WLq= WqLittle公式。,例12-3：考虑一个铁路列车编组站。设待编列车到达时间间隔服从负指数分布，平均每小时到达2列；服务台是编组站，编组时间服从负指数分布，平均每2
13、0分钟可编一组。已知编组站上共有2股道，当均被占用时，不能接车，再来的列车只能停在站外或前方站。求在平衡状态下系统中列车的平均数；每一列车的平均逗留时间；等待编组的列车平,均数。如果列车因站中2股道均被占用而停在站外或前方站时，每列车每小时费用为a元，求每天由于列车在站外等待而造成的损失。解：本例可看成一个M/M/1/排队问题，其中 =2， =3，= /=2/32=W1-P0-P1-P2=W1-(l-)- (l-) 1 -(l-) 2=1* 3= 3=(2/3)3=0.296（小时）故每天列车由于等待而支出的平均费用E=24W0a=24*2*0.296*a=14.2a元,例12-4：某修理店只
14、有一位修理工，来修理的顾客到达过程为Poisson流，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。试求：修理店空闲的概率；店内恰有3位顾客的概率；店内至少有一位顾客的概率；在店内平均顾客数；每位在店内平均逗留时间；等待服务的平均顾客数；每位顾客平均等待服务时间；顾客在店内等待时间超过10分钟的概率。,解：本例可看成一个M/M/1/排队问题，其中 =4， =1/0.1=10(人/小时），= /=2/510=e-10(1/6-1/15)=e-1=0.3677PTt=e- (-)tt=10分钟, =10人/小时=10/60 =1/6 =4人/小时=4/60 =1/15,M/M/S 等待制
15、排队模型多服务台问题，又表示为M/M/S/ ：顾客相继到达时间服从参数为的负指数分布；服务台数为S；每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为的负指数分布。当顾客到达时，若有空闲服务台马上被进行服务，否则便排成一队列等待，等待空间为无限。,队长的分布 记Pn=pN=n,n=0,1,2.为系统达到平衡状态后队长N的概率分布，对多服务台有 n=； n=0,1,2. n= n n=0,1,2.s n= s n=s,s+1,s+2.,s= /s= /s, 当s1时，有,Cn=,(/)n n!,(/)s s!,(/s)n-s=,(/)n s!sn-s,n=1,2,.s,ns,pn=,(p)n n!,n=
16、1,2,.s,n s!sn-s,n s,p0,p0,其中：p0=0s-1pn/n!+ s/s!(1- s)-1当n s时，顾客必须等待，记C(s, )= spn= s/s!(1- s) p0称为Erlang等待公式，它给出了顾客到达系统时，需要等待的概率。,平均排队长：Lq=s(n-s)pn = p0 s s /s!(1- s)2或Lq = C(s, ) s / (1- s) 记系统中正在接受服务的顾客平均数s,显然s也是正在忙的服务台平均数。S= 0s-1npn+ s*spn = ,平均队长：L=平均排队长+正在接受服务的顾客的平均数= Lq + 对多服务台，Little公式依然成立： W=L/ Wq=Lq/ =W-(1/),例12-5：考虑一个医院急诊室的管理问题，根据资料统计，急诊病人相继到达的时间间隔服从负指数分布，平均每半小时来一个；医生处理一个病人的时间也服从负指数分布，平均需要20分钟。急诊室已有一个医生，管理人员考虑是否需要再增加一个医生。,解：本问题可看成M/M/S/排队问题，其中（时间为小时） =2，=3， =2/3，s =1,2,.计算结果如下表：,习题12.212.3,
