1、单摆法测重力加速度的实验研究班级：2014应用化学3班 学号：10140321 10140313 姓名：杨淞博 王超旻 指导教师：彭庶修摘要单摆法是测试重力加速度常用的方法之一。本论文在使用单摆法测量重力加速度中，选择了两种方案进行测量，再使用渐进法对数据进行修正，并针对其中的误差进行了分析，使测算出的重力加速度更加精确。关键词：单摆；g值；实验研究；误差分析；渐进法。用于地理位置的不同各地的重力加速度也有不同，而重力加速度是物理学中很重要的一个物理常量。为了掌握单摆测重力加速度的方法，熟练使用各种测量仪器，加深数据记录与处理能力。使用单摆测量当地的重力加速度是一次对力学实验的综合能力的考验，
2、可以应用在精确度要求一般的测量中。 一、方案设计（一）物理模型与数学公式推导1.单摆模型用一不可伸长的轻线悬挂一小球，作幅角很小的摆动就构成一个单摆，如图（1）。2.测重力加速度原理 设小球的质量为m，其质心到摆的支点o的距离即摆长为l。由图(1),重力在切向方向的分力为mgsin ，它总指向平衡位置,是摆球作往复运动的回复力。当摆角很小时(5)，有sin ，由牛顿第二定律，可得摆球的动力学方程为：图（1） 由F=ma得： 这是一个简谐振动方程，可解得振动角频率为（二）实验仪器 单摆装置，电子秒表（），游标卡尺()，钢卷尺()。（三）误差分析与仪器的选择及测量方法设计1、对系统误差的估算即使测
3、量方法正确，直接用上述公式测量结果，在精度要求较高时，计算结果也会偏离真值，下面从系统误差出发来对误差进行分析。本实验要求的准确度为0.1%。故上述各项系统误差可暂不考虑，待测出结果再讨论。2、 对量具的选择（测长度与时间） 由此式可看出，增大摆长和时间可以提高测量准确性。时间相对不确定度平方的前面系数是4，因而时间测量的准确性对结果的影响比摆长更大。实验测量结果要求有四位有效数字、相对误差1%，因此要求测L和T至少要有四位有效数字。g的相对误差为(), 由误差均分原理，各独立测量量引入的测量误差为相等，则 （ L / L）0.5%，实验中单摆的摆长约为100cm，可以计算出摆长的测量误差要求
4、为L1mm，选择米尺测量一次就足以满足测量要求。 同理(2 T/T)0.5%，当摆长为100cm时，单摆摆动周期约为2s，单摆周期的测量误差要求为T0.005s。使用手动计时，在启动和停止秒表时，有0.1s或0.2s的误差（系统误差）。可采用连续测量多个周期来减小每个周期的误差，若启动和停止秒表的误差取0.3s，因电子秒表可读至0.01s，其计时误差主要是启动和停止时带来的，一次测50100个周期即可分散，所得周期值仍可精确到千分之几秒，故采用电子秒表手动计时。3、测量方法的设计对摆长L，不同的单摆装置有不同的测量方法。本实验中摆长应是悬挂点与球心之间距离，即 L=+d/2。测量摆动周期的具体
5、做法是：在单摆经过平衡位置瞬间开始按秒表计时，经过N个整周期的时间单摆又同方向地经过平衡位置时，再按秒表钮终止计时。在测50100个T0时，因为需要一个周期、一个周期地累计振动次数，就容易使人疲劳，而且常会数错。用另一种测周期的方法“渐进法”。(1)先测30个周期（这一步骤仍需一个一个周期地数），由此得到的周期值当然不够精确，将其作为第一次近似值，用表示，设30=58.45s，则=1.948S.(2)再预期大约100个整周期的时间，约需3min以上。让单摆重新平稳地摆动，设某次当它由左向右经过平衡位置时按下秒表按钮，秒表开始计时，经过3min后再观察单摆。当某次它又由左向右经过平衡位置时，再按
6、动秒表按钮，秒表停止走动。记下初、终时刻，即可得到n个全振动的时间。设=202.85s 则 n=/=202.85/1.948=104.1可以认为次数n应是整数，取104，于是算得为 = /104=1.950s显然，值比值精确，而且避免了计读摆动次数过多带来的眼睛疲劳和容易失误的缺点，只须初、终两次按动表钮时力求准确即可。实验时先不忙着揿秒表计数，而应该熟悉它经过平衡位置的情况，眼看而口念：“0”、“0” ，使自己合着单摆振动的节凑而读音，等到有把握了然后在念到某个“0”时，再按下表钮，开始计算摆动次数，在终止计数时，也依上法按表钮，如此可减小测量误差。在正式测量前，应先测单摆振动5个整周期的时
7、间，共进行510次，从中判断出自己测量结果的重复程度如何，以决定是否能立即正式进行测量。4、注意事项1) 实验所用的单摆应符合理论要求，摆动角度不能超过5，每次摆动幅度要尽量相近。2) 计时时要从摆球通过最低位置开始计时。计算次数时，也要从最低位时开始计数。3) 实验开始时要调整角度尺距离顶端的位置，使两者的距离为角度尺的半径。4) 使用渐进法进行修正时不能改变绳子长度等数据，要和试验时的数据保持一致。二、实验验证设计方案1、固定摆长下测量单摆振动周期（渐近法），然后计算求重力加速度g。数据记录与处理 表1. 123456t30/s60.3860.3660.4160.3760.3860.402
8、.013 数据记录与处理 表2/mmd /mmL/mm/sn（/）(/n)g(m/s2)Er994.821.741005.7201.311002.0139.7970.10 综合表1与表2 的数据作处理得： g=9.797(m/s2) 若与本地重力加速度理论值 g=9.787m/s2相比较，则相对误差0.10% 。2、 研究单摆周期T2与摆长L的关系，进而用线性拟合求出重力加速度g。 数据记录与处理 表3./mmd/ mmL/mm123t(s) (s)Ti (s)1592.1 21.74603.0 46.6946.6946.721.557 155.51.571 2697.8 21.74708.7
9、 50.6350.5350.63 1.687 168.911.689 3789.1 21.74800.0 53.90 53.9453.941.798 179.751.816 4896.3 21.74907.2 57.1257.2457.151.906 190.631.906 5994.8 21.741005.7 60.3860.3660.41 2.013 201.31 2.013 61091.2 21.741102.1 63.2163.1763.252.107 214.60 2.125 数据处理：由表3整理得表4123456Li(m)0.709 0.800 0.907 1.006 0.603
10、1.102 Ti (s)1.689 1.816 1.906 2.013 1.571 2.125 (s)2.853 3.297 3.634 4.053 2.467 4.515 对表4 作线性拟合，得出斜率，相关系数，求出g值为9.740m/s2 ，所作直线见下图。与本地重力加速度理论值 g=9.787m/s2 相比较，相对误差为0.48% 。 3、 结论通过“单摆法测量重力加速度”作为一个研究型实验的方案，详细的进行了方案设计、实验测量、数据归纳、计算与误差分析。在这次实验中，分别使用了固定摆长法和改变摆长用线性关系法进行测量，分别得出了g=9.797m/s2和9.740m/s2，均满足误差小于0.5%的要求。证明这两种方案都是可行的。参考文献：1 钟江帆 大学物理M 长春 吉林大学出版社 2010、82 天津工业大学物理实验室编 大学物理实验M 天津科学技术出版社 2005、13 陈守川 大学物理实验教程 M 杭州 淅江大学出版社 1995、14 张世箕 测量误差及数据处理M 北京 科学出版社 1979
