1、1,离散数学,陈夫华，一般性参考： 离散数学，左孝凌等，上海科学技术出版社 数学家的逻辑，哈密尔顿，商务印书馆 元数学导论， SC克林，科学出版社,2,离散和连续,离散和连续的区别和联系,3,离散与连续,“离散”与“连续”是数量关系中一对极为深刻的矛盾，它们之间的对立与统一是数学发展的重要动力之一“离散”是连续的否定，即“不连续”；“连续”则是指事物、数量的一种属性，这种属性使它们容易被分割或者结合，并且不会因此而丧失它们原有的本性。例如，实数是连续的，整数则是离散的；马铃薯是离散的，而马铃薯羹则是连续的。,4,离散化,离散数学是计算机专业的一门重要基础课。它所研究的对象是离散数量关系和离散结
2、构数学模型由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系， 因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。,5,离散化举例,人体是一个连续的系统，在计算机模拟人体组织构造的时候，需要将连续的化归为一个离散的问题你还能举出哪些离散化的例子？,6,离散数学应用领域及学习意义,离散数学课程主要介绍离散数学的各个分支的基本概念、基本理论和基本方法。这些概念、理论以及方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、
3、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中；同时，该课程十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。,7,离散数学五大分支,一、数理逻辑二、集合论三、数论四、代数结构五、图论,8,数理逻辑的研究内容,逻辑（Logics）研究的是有效的推理方法，数理逻辑（Mathematical Logics）就是用数学化（符号化）的手段，研究有效的推理方法什么是有效的推理方法? a 如果推理前提真，则推理结论真 b 由相同的推理前提进行正确的推理，所得的推理结论是一致的,9,数理逻辑的研究目的,数理逻辑的研究目的：研究形式的真和形式有效
4、的推理，用形式手段尽可能地刻画人们对形式的真和形式有效的推理的朴素理解。,10,数理逻辑的主要内容,命题逻辑、谓词逻辑模型论、证明论、递归论、公理化集合论,11,第一章 命题逻辑1-1 命题及其表示法,定义1：命题是一个具有确定真值的陈述语句注：真值表示真假的性质，其可能的取值只有“真”和“假”，通常有T或者表示真，F或者表示假。例子：你吃过饭了吗?严禁吸烟！5是一个整数 3是偶数 x+y=4 我正在说谎,12,1-1 命题及其表示法,定义2：原子命题是不能再分解为更简单命题的命题例子：苏格拉底是哲学家 德国和法国都是欧洲国家注： 原子命题的界定不宜绝对化 3 原子命题常用大写字母A，B，P，
5、Q，或带下标的大写字母来表示,13,1-1 命题及其表示法,定义3：由原子命题、联结词或标点符号的复合构成的命题称复合命题例子： 昨天下雨，今天也在下雨定义4：表示命题的符号称为命题标识符定义5：一个命题标识符如果表示确定的命题，称为命题常元；如果命题标识符可以表示某类命题中的任何一个，称为命题变元,14,1-2 命题的联结词,作用：规范日常语言中联结词（如“与”、“或”等）在命题逻辑中的意义和用法，这里联结词可以看作是作用于命题之上的运算符定义1：设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记为P。若P为T， P为F；若P为T，P为F例子：P：上海不是一个大城市 P：？,15,1-2 命题的联结词
6、,定义2：两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作PQ。当且仅当P、Q同时为T时，PQ为T，其他情况下PQ均为F例子：P：地球是球形的 Q: 牛顿是物理学家 PQ: 地球是球形的并且牛顿是物理学家,16,1-2 命题的联结词,注：1 是汉语中“与”、“和”、“并”的翻译，但不能绝对化，例如“老张与小李是师徒” 2 合取在一起的两个命题不一定有实质的联系，也不一定是一致的，甚至可以将互为否定的命题合取在一起（该注释对其他逻辑联结词也适用）定义3：两个命题P和Q的析取是一个复合命题，记作PQ。当且仅当P、Q同时为F时，PQ的真值为F；否则PQ的真值为T,17,1-2 命题的联结词,例子： P：机器
7、有故障 Q：开关有故障 PQ：机器有故障或开关有故障注：是汉语中“或” 的翻译，但不能绝对化。特别应注意区分“可兼或”和“排斥或”。例子：P：他是78年出生的 Q：他是79年出生的 他是78年出生的或79年出生的表示为PQ？,18,1-2 命题的联结词,定义4：给定两个命题P和Q，其条件是一个复合命题，记作PQ，读作“如果P，那么Q” 或“P蕴含Q”。当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，PQ的真值为F;否则PQ的真值为T。称P为前项，Q为后项例子：P： 月亮下山 Q： 3+3=6 PQ： 如果月亮下山,则3+3=6,19,1-2 命题的联结词,注：1 虽然上例的P、Q之间并无实际联系，但只要
8、P、Q可分别确定真值，即可用“”联结 2 QP称为PQ的逆命题 PQ称为PQ的反命题 QP称为PQ的逆反命题 3 前项P为F时，无论后项Q取何真值,PQ的真值均为T，这是所谓的“善意推定”,20,1-2 命题的联结词,补充说明：上面所定义“”是所谓的“实质蕴含”。对于实质蕴含的合理性，存在着一定的争议。例如，根据实质蕴含的定义，下面的复合命题的真值必定为T： a (AB)(B A) b FA a意味着任何两个命题之间有蕴含关系 b意味着假命题可以推出任何命题 这并不符合于常识和直觉,21,1-2 命题的联结词,定义5：给定两个命题P和Q，复合命题PQ称作双条件命题，读作“P当且仅当Q”，当P和
9、Q的真值相同时， PQ的真值为T，否则PQ的真值为F注：双条件的其他表示法例子：1 P： 1+1=3 Q： 雪是白的 PQ： 1+1=3当且仅当雪是白的 2 当且仅当明天不下雪且不下雨，我才去学校 3 只有他出差，我才会同意他不参加学习,22,1-3 命题公式与翻译,定义1： 命题演算的合式公式 (well-formed formula) （wff） ，简称为合式公式或命题公式，规定为： 1) 单个命题变元本身是一个合式公式 2) 如果A是合式公式，那么A是合式公式 3) 如果A和B是合式公式，那么（AB）、（AB）、 (AB)和（AB)都是合式公式 4）当且仅当有限次地应用1）、2）和3）所
10、得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式,23,1-3 命题公式与翻译,例子：指出(P(PQ)中的哪些部分是命题公式(wff)，如果是，则具体说明它是如何生成的 解： P 由1) Q 由1) （PQ）是wff 由3) (P(PQ) 由3) ,24,1-3 命题公式与翻译,约定：运算次序优先级：， 相同的运算符按从左至右次序计算，否则 要加上括号 括号最外层圆括号可省去例子：他是河南人或河北人 如果命题A等价命题B，那么命题C等价命题D,25,1-4真值表与等价公式,定义1：在wff中，根据对分量指派真值的各种可能组合，求解wff的对应真值，汇列成表，称为真值表例子：构造P（PQ）的真
11、值表 解：,26,1-4真值表与等价公式,例子：给出(PQ)(PQ)的真值表 解：,27,1-4真值表与等价公式,定义2：一个命题公式如果对于其分量指派真值的各种可能组合，其真值恒为真（假），称该命题公式是永真（假）式，记为T（F）例子： PP PP PQ 定义3：给定两个命题公式：A(P1，P2.Pn)，B(P1，P2.Pn)若对于P1，Pn任一组真值指派，A，B真值相同，称A和B是等价的或逻辑相等，记为AB问题：上面的定义是否有必要扩展到包含无限多分量的命题公式？,28,1-4真值表与等价公式,例子：求证PQ(PQ)(QP) 解：,29,1-4真值表与等价公式,基本的命题逻辑等价关系 幂等
12、律： PPP, PPP 结合律：（PQ）RP（QR） （PQ）RP（Q R） 交换律： PQ QP， PQQP 分配律： P(QR)(PQ)(PR）, P(QR)(PQ)(PR）,30,1-4真值表与等价公式,基本命题逻辑等价关系（续） 吸收律： P(PQ)P, P(PQ)P 德摩根律： （PQ）PQ （PQ）PQ 同一律： PFP， PTP 零律： PTT， PFF 否定律： P PT， P PF,31,1-4真值表与等价公式,定义4：如果X是命题公式A的一部分，且X也是命题公式，则称X是A的子公式定理1：设X是命题公式A的子公式，若XY，则若将A中的X的每一次出现用Y来置换，所得公式B与A
13、等价，即AB 证明： 因为对变元的任一组指派，X与Y真值相同，故以Y取代X后，公式B与公式A相对于变元的任一指派的真值也必相同，所以AB定义：称满足定理1的置换为等价置换,32,1-4真值表与等价公式,例子：证明下列命题公式（ 可以利用基本的命题逻辑等价关系） Q（P（PQ）QP （PQ)（PQ)P PQPQ （PQ）（QR）PQR PQQPQ,33,对偶式,定义1：在只包含联结词， ，的命题公式A中，将联结词换成，将换成，F和T亦互换，所得公式A*称为A的对偶式例子：求（PQ)R 的对偶式,34,1-5重言式与蕴含式,重言式即永真式；矛盾式即永假式定理1：任何两个重言式的合取或析取，仍然是重
14、言式 证明：设A、B为两个重言式，则AB和AB的真值分别等于TT和TT定理2：对一个重言式的同一分量都用任何一个命题公式置换，所得命题公式仍为一个重言式 证明：由于重言式的真值与分量的真值指派无关，故对同一分量以任何一个命题公式置换后，重言式的真值不变,35,1-5重言式与蕴含式,问题：对一个重言式的同一分量用不同的命题公式置换，所得命题公式是否仍为一个重言式？ 对一个重言式的同一分量用永假式置换，所得命题公式是否仍为一个重言式？定理3：设A、B是两个命题公式，AB当且仅当AB是一个重言式 证明：若AB，则对于A、B所包含的分量的任意指派，A、B均取相同的真值，即AB是一个重言式；若AB是一个
15、重言式，即对于分量的任意指派， A、B均取相同的真值，即AB,36,1-5重言式与蕴含式,例子：PQQP,37,1-5重言式与蕴含式,定义1：当且仅当PQ是一个重言式时，称“P重言蕴含Q”，在不会引起歧义的情况下，简称为“蕴含”，记作PQ注：注意重言蕴含与实质蕴含的区别例子： 求证Q（PQ）P 证法1： 证法2： 证法3：常用的蕴含关系式：p21，表1-5.2,38,1-5重言式与蕴含式,定理4：设P、Q为任意两个命题公式，PQ的充分必要条件是PQ且QP 证明：若PQ，则PQ为重言式，即PQ和QP是重言式；若有PQ且QP，则PQ和QP是重言式，即PQ为重言式,39,1-5重言式与蕴含式,蕴含的
16、性质，设A、B、C和D为命题公式，则 1若A是重言式，且有AB，则B是重言式 2若有AB、BC，则有AC，即蕴含关系是传递的 3若有AB、AC，则有A（BC) 4如有AC、BC，则有ABC,40,1-6联结词的扩充与功能完全组,定义1：合取非（与非）设P和Q是两个命题公式，复合命题合取非当且仅当P和Q的真值不相同时，合取非的真值为T，否则为F定义2：析取非（或非）设P和Q是两个命题公式，复合命题析取非当且仅当P和Q的真值均为时，析取非的真值为T，否则为F,41,1-6联结词的扩充与功能完全组,定义3：条件非设P和Q是两个命题公式，当且仅当P的真值为T，的真值为F时，条件非的真值为，否则为定义：
17、双条件非（异或）设P和Q是两个命题公式，当且仅当P和的真值不同时，双条件非的真值为，否则为,42,1-6联结词的扩充与功能完全组,定义：称为联结词的功能完全组，如果满足下列两条件：第一，由中联结词构成的公式能等价表示任意命题公式；第二，中任一联结词不能用其余下联结词等价表示可以证明， ， ， ，都是联结词功能完全组,43,1-7范式,定义命题变元和命题变元的否定，称为文字如果一个文字恰为另一个文字的否定，则称它们为一对相反文字定义简单析取式（文字的析取）定义简单合取式（文字的合取）定义析取范式（简单合取式的析取）定义合取范式（简单析取式的合取）,44,1-7范式,求任意命题公式的合取（析取）范
18、式的步骤 1）将公式中的联结词化成， ， 2）利用德摩根律将否定符号直接移到各个命题变元之前 3）利用分配律、结合律将公式归约为合取范式（析取）范式例：求（）的析取范式和合取范式解： （） （ ） （） （） （析取范式） （） （ ）（合取范式）,45,1-7范式,注：一个命题公式的合（析）取范式不是唯一的，如 P（QR）（PQ）（PR） （PP）（PR）（PQ）（QR）,46,1-7范式,定义4：n个命题变元的合取式，称为小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现一次且仅一次注：n个命题变元的小项有2n个 由小项真值表可知，没有两个小项是等价的，且每个小项只在一组真值指派下为
19、T 可以为小项指定一种编码，例如m01对应于PQ，m11对应PQ，m101对应PQR等。,47,1-7范式,小项的编码具有如下性质：当且仅当真值指派与小项的编码相同时，小项的真值为T；否则小项的真值为F 任意两个不同小项的合取为F； 全体小项的析取为T定义5：对于给定的命题公式，其中出现的原子变元记为P1,P2,Pn。如果有一个等价公式，它仅由P1,P2,Pn的小项的析取构成，则该等价公式称为原式的主析取范式注：一个公式的主析取范式是唯一的,48,1-7范式,定理3：在真值表中，一个命题公式的真值为T的指派所对应的小项的析取，即为该命题公式的主析取范式 证明：显然，对于任何真值指派，按如上方法
20、构造的命题公式与原命题公式具有相同的真值；并且它又是一个小项的析取式，即它是一个主析取范式,49,1-7范式,注：可以利用真值表，也可以利用公式化归法来构造主析取范式例子：求（PQ）（PR）的主析取范式 解：（PQ）（PR） （PQ）（R R）（PR）（Q Q） （PQ R）（ PQR）（PQR）,50,1-7范式,注：公式化归法求主析取范式的一般步骤 1）化归为析取范式 2）除去析取范式中所有永假析取项 3）合并重复项 4）补入合取项中没有出现的命题变元，例如添加（PP）等，再用分配律展开定义6：n个命题变元的析取式，称为大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现一次且仅一次,
21、51,1-7范式,注：可以为大项指定一种编码，例如：M00对应PQ，M101对应PQR 大项具有如下性质：每个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为F，否则其真值为T；任意两个不同大项的析取为T；全体大项的合取必为F定义7：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取组成，则该等价式称作原式的主合取范式注：一个公式的主合取范式是唯一的,52,1-7范式,定理：在真值表中，一个命题公式的真值为的指派所对应的大项的合取，即为该命题公式的主合取范式,53,1-7范式,注：主合取范式亦可由公式化归法求得，基本步骤如下 1）化归为合取范式 2）除去合取范式中所有永真合取项 3）合并重复项 4
22、）补入合取项中没有出现的命题变元，例如添加（PP）等，再用分配律展开,54,1-7范式,例：求（PQ） （PQ）的主合取范式 解：（PQ）（PQ）（(P Q) (P Q)） (P Q) (PQ)(P Q)( P Q) （P Q) (P Q)(P Q) M0M3,55,1-7范式,例：求（PQ） （PQ）的主析取范式（PQ） （PQ） (P Q)(P Q)(P (P Q) (Q (P Q)(P P) (P Q) (Q P ) Q Q)(P Q) (Q P )m1m2 M0M3思考：一个命题公式的主析取范式和主合取范式有何种关系？,56,1-8推理理论,推理的过程是由逻辑前提出发，根据逻辑推理规则
23、，导出逻辑结论的过程。推理的出发点是逻辑前提。逻辑前提有两种：逻辑永真式和假设前提。前者是命题逻辑系统固有的公理；后者由特定知识系统引入。在某个特定的知识领域中做推理的时候，需要把该系统的定律、原理作为假设前提。一般地，具体系统的假设前提不应是逻辑永真式，但是在推理中这些假设前提的真值需要始终被认为是T定义1：设A和C是两个命题公式，当且仅当AC是一个重言式（即A重言蕴含C），称C是A的有效结论，或C可由A逻辑推出,57,1-8推理理论,注：上述定义可推广到n个前提的情形：设H1，H2，Hn，C是命题公式，当且仅当H1H2HnC是重言式，称C是前提H1，H2，Hn的有效结论真值表法：直接给出包
24、含前提H1，H2，Hm和结论C的真值表，检查是否每一个前提均为T的行所对应的C的真值也为T；或者检查是否每一个结论C为F的行中至少有一个前提为F,58,1-8推理理论,例子：前提：PQR，（PQ)；求证结论R P Q R PQR （PQ） 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0,59,1-8推理理论,问题：是否可以用真值表法作为一般的推理方法？直接证法：由一组前提，利用推理规则，根据已知的等价或蕴含公式，推演得到有效结论。P规则：前提在推导过程中的任何时候都可以使用。T规则：
25、推导中，如果有公式重言蕴含着S，则公式S可以引入推导 注：等价式看作双向的蕴含常用的蕴含（Implication）式和等价（Equivalence）式见p43,60,1-8推理理论,求证： RS是前提CD，CR,DS的有效结论。 证明：1 CD P 2 CR P 3 DS P 4 CD T（1） E 5 RC T（2） E 6 RS T（5）（4）（3） I 7 RS T（6） E,61,1-8推理理论,定义2：设命题公式的集合为 H1，.，Hm，如果H1H2Hm为永假式，则称公式H1，H2，Hm是不相容的；否则，称其为相容的定理1（间接证法1 ）：设有一组前提H1，H2，Hm，要推出结论C，
26、只需证明H1，H2，Hm与C是不相容的 证明：要证H1，H2，Hm推出C，即要证 H1H2HmC。不妨将H1H2Hm记作S，即要证SC为永真，故只需证SC为永假,62,1-8推理理论,例子：求证(PQ)是PQ的有效结论 证：1 (PQ) P 附加前提 2 PQ P 3 PQ T（1） E 4 P T（3） I 5 P T（2） I 6 PP(矛盾) T（4）（5） E 所以，(PQ) PQ,63,1-8推理理论,定理2（间接证法2，CP规则 ）：设有一组前提H1，H2，Hm，要推出结论RC，只需证明 H1H2HmRC 证明：设H1H2Hm为S，若S（RC）， 则有S（RC） 又 S（RC）S（RC） （SR）C （SR）C 故S（RC）为永真式的充要条件是（SR）C为永真式。 这样H1H2HmRC等价于H1H2HmRC,
