1、第五章 大数定律和中心极限定理,关键词：契比雪夫不等式大数定律中心极限定理, 人们在长期的实践中发现，频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性，也就是说，无论个别测量值如何，其平均结果实际上与个别测量值的特征无关，几乎不再是随机的了。这种稳定性问题如何从理论上给出解释？这正是大数定律要解决的问题。, 长期观察表明，如果一个量是由大量的相互独立的随机因素的影响造成的，而每一个个别因素在总影响中所起的作用都很微小，则这种量通常都服从或近似服从正态分布。这个结论的理论依据就是中心极限定理。,1.大数定律,在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性，还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。,定义1：,定义
2、2：,定理1：,由切比雪夫不等式得：,由定理2有,此定理说明了频率的稳定性。,注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。,2.中心极限定理,定理1,定理2 （李雅普诺夫定理）,(Liapunov定理),由定理1有结论成立。,(De Moivre-Laplace),推论：,设随机变量 服从参数为 n , p (0p1) 的二项分布, 当 n 充分大时有：,说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。,例1,某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。,解：
3、,设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题意有：,即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。,用频率估计概率时误差的估计：,由上面的定理知,用这个关系式可解决许多计算问题。,第一类问题是已知 求概率,这时只需求满足下式的最小的n,第三类问题是已知,例2.,现有一批种子，其中良种占1/6。今任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？,解：,由德莫佛-拉普拉斯定理,故近似地有,良种粒数X的范围为,例3,设一个系统由100个相互独
4、立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常工作，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统正常工作的概率。,解：设X是损坏的部件数，则 XB(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当 X 15.,由德莫佛-拉普拉斯定理有,返回主目录,例4某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？,解：设有X部分机同时使用外线，则有,设有N条外线。由题意有,由德莫佛-拉普拉斯定理有,例5 一加法器同时收到20个噪声电压 ，设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布，记,1 引进了大数定律的概念，要了解大数定律的意 义和内容，理解贝努里、辛钦大数定律，了解 契比雪夫大数定律。2 阐述了中心极限定理的含义及其客观背景，要 掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普 拉斯定理， 会利用中心极限定理解决一般实际 应用问题。,第五章 小 结,
