1、第四章 潮流计算中的特殊问题第一节 负荷的静态特性负荷的功率是系统频率和电压的函数。在潮流计算中可以认为频率变化不大。但由于发电机或输电设备的开断会引起电压较大的变化，在潮流计算中计及负荷的静态电压特性是合理的。负荷的电压静态特性就是负荷的有功和无功功率与电压大小的关系，一般表达如下： （4-1）式中系数满足 、是在设定电压下的负荷值。组成负荷的三部分被分别看做恒定阻抗部分、恒定电流部分和恒定功率部分，所以（4-1）称为负荷的ZIP模型。当、时，忽略电压的二次项。潮流计算中计及负荷的静态电压特性的方法：1、节点功率的不平衡量计算:(4-2)2、牛顿法雅可比矩阵子矩阵N和L的对角线元素要增加和3
2、、P-Q分解法，Q-V迭代的系数矩阵的对角线元素也应增加，这样不再是常数了。为了节省计算量，也可取为常数，如忽略二次项取，或不改变，但功率不平衡量要按（4-2）计算。负荷电压静态特性模型的指数形式 （4-3）、在动态潮流计算中，不能不考虑频率的变化。考虑频率变化时式（4-1）、（4-3）变为。当考虑频率变化时，频率也是待求的未知量，应出现在潮流方程中。模型中系数的选取属于负荷建模的问题，仍未得到很好的解决。第二节 节点类型的相互转换一、PV节点转换为PQ节点当在迭代过程中出现PV节点无功功率越限时，可以再迭代几次，如果无功仍越限，说明PV节点电压设置不合理，应进行调整：如果无功功率越下限，检查
3、是否电压设置过低？如是可适当提高电压设定值，或转换为PQ节点，无功定值置下限值。如果无功功率越上限，说明节点无功功率不能支持设定的电压，可适当调低电压设定值，或转换为PQ节点，无功定值取上限值。PV节点转换为PQ节点的处理方法：1、直角坐标方式的节点不平衡量由变为；2、牛顿法极坐标方式的修正方程加1个方程；3、P-Q分解法，迭代不变，迭代的系数矩阵有两种处理方法：（1）增加一行一列，如增加到最后： （4-4）新的矩阵的因子表可由右下角加边的因子表修正法求出。（2）的对角元加大数在形成时包含PV节点对应的导纳，但PV节点的对角元加一个很大的数。这样在正常Q-V迭代时，PV节点的电压修正零接近于0
4、，不会影响其他节点的电压修正量。当PV转换为PQ节点时，将加的大数去掉。 （4-5）采用因子表秩1修正法得到新的因子表二、PQ节点转换为PV节点当在迭代过程中出现PQ节点电压越限时，可以再迭代几次，如果电压仍越限，说明PQ节点无功设置不合理，应进行调整：如果电压越下限，说明无功设置较低，可适当提高无功设定值，或转换为PV节点，电压定值取下限值。如果电压越上限，说明节点无功设定偏高，可适当调低无功设定值，或转换为PV节点，电压定值取上限值。PQ节点转换为PV节点的处理方法：1、直角坐标方式的节点不平衡量由变为；2、牛顿法极坐标方式的修正方程减1个方程； 3、P-Q分解法，迭代不变，迭代的系数矩阵
5、有两种处理方法：（1）在中划去将要转换为PV节点的节点所在的行和列，重新形成因子表。（2）在中将要转换为PV节点的节点对应的对角元加一个很大的数，用因子表秩1修正法得到新的因子表三、因子表修正方法1、因子表秩1修正法设系数矩阵A已因子化为如下的形式 （4-6）由于某种原因，A变化为： （4-7）其中M和N为的列矢量，为标量。新矩阵的因子表为： （4-8）将（4-8）、（4-6）代入（4-7）有： （4-9）为了求出中的各元素，将和各矩阵的第一行和第一列单独列出，并写成分块矩阵的形式： (4-10)和 (4-11)及 （4-12）将（4-10）代入（4-6），A矩阵可写为： （4-13）将（4-
6、11）代入（4-8），矩阵可写为： （4-14）将（4-12）代入 （4-15）将（4-13）、（4-14）、（4-15）代入（4-7）有 （4-16）根据等号两端矩阵对应元素相等，可得：（1） （4-17）（2） 将（4-17）变为代入，有 （4-18）其中 （4-19）（3） 将（4-17）变为代入，有 （4-20）其中 （4-21）由上（1）、（2）、（3）可计算出新矩阵因子表上三角矩阵第一行元素、下三角矩阵第一列元素和对角线矩阵第一个元素。（4） 重写为 （4-22）其中将（4-18）、（4-20）代入得 （4-23）其中 （4-24）因此，（4-22）可写为如下的形式 （4-25）（
7、4-25）与（4-9）有同样的形式，可用（1）、（2）、（3）的方法分别求出矩阵的第一行第一列元素。因子表的秩1修正过程就是递归使用式（4-17）、（4-18）和（4-20）逐次求出新矩阵的因子表的过程。程序流程为： （4-26）由于M和N是非零元素非常少的稀疏矢量，使用稀疏矢量的排零运算后，上述程序流程的计算量很小。2、原矩阵右下角加边的因子表修正法已知原矩阵A的因子表 （4-27）在原矩阵A右下角增加行列后形成的加边矩阵及因子表表示为： （4-28）其中M是阶矩阵，N是阶矩阵。由因子分解方法可知，原矩阵因子表的元素不变化。右边展开 （4-29）对照、比较得 （4-30） （4-31） （4
8、-32）对矩阵进行三角分解可求出、和矩阵各元素。当时，、，（4-32）变为 （4-33）其结果为一标量。回忆因子表法线性方程组的求解过程的前代、规格化运算 （前代） （规格化）可见（4-30）就是用L和D对M中的各列进行的前代、规格化运算。将（4-31）两边取转置，所以（4-31）就是用U和D对N中的各行进行的前代、规格化运算。不别进行矩阵的求逆运算。第三节 多节点的潮流计算有时我们只关心一个大电网中的一部分网络的运行状态，为了简化计算将电网分解为内部网、边界和外部网三部分。将外部网的所有节点用高斯消去法消掉，用边界节点间的等值支路来等值替代。如图所示。等值支路内部网边界母线要对等值后的网络进
9、行计算，需要知道边界节点处来自外部等值网络的注入功率。内部网和边界节点的运行参数可由SCADA系统得到，进而用状态估计方法可求出边界节点处的电压后，这样等值网络就是一个具有多节点的网络。设系统节点数为N，其中有S个节点给定，R个节点PV给定，其余N-S-R个节点为PQ给定。这样可写出N-S个有功约束方程和N-S-R个无功约束方程，待求的为N-S-R个节点的电压相角和N-S个节点的电压幅值V。待求变量数量与方程数相等，方程可解。牛顿法或P-Q分解法均可使用。上述多的潮流方程收敛后，可求出边界节点处由外部网注入的等值功率。将此注入功率作为已知量，可进一步研究内部网在各种运行方式下的潮流分布。即认为
10、在以后的分析中外部网提供的注入功率不变。第四节 潮流方程解的存在性、多值性以及病态潮流解法一、潮流方程解的存在性、多值性（1）、潮流方程是一组非线性方程组，理论上是多解的。如不同的给定值、不同的初始条件得到的解可能不同；（2）、潮流计算得到的解可能是有实际意义的，即与实际运行状态相符或实际能运行的解；也可能是无实际意义的，如实际无法实现或无法接受的解；（3）、潮流方程无解，或无实数解，不能收敛；（4）、潮流方程有解，但算法不完善，不能收敛，如修正方程病态；（5）、采用“平值启动”或状态估计的参数作为初始条件得到的解一般是有意义的。（6）、潮流方程解的存在性、多值性是仍未解决的困难课题。二、病态
11、潮流及其解法主要是指修正方程的病态。1、病态方程一个线性方程组，若右端向量或系数矩阵的微小变化就会引起方程组的解发生很大的变化，则称为病态方程组。方程组的系数矩阵的条件数刻画了方程组的性态，若，则称为“病态”方程组；若相对较小，则称为“良态”方程组。良态方程组用GAUSS消去法和JACOBI等简单的迭代法就可以得到比较好的计算解，而对于病态方程组，一般的直接法和迭代法会有较大的误差，甚至严重失真。所以，在解方程组时，有必要先对方程组的性态进行研究，采用相应的算法，才能得到比较精确的计算解。利用方程组的条件数来判断就是一个很好的办法。下面的一些直观的现象可作为判别病态矩阵的参考：（1）在主元消去
12、法的过程中出现小主元，则有可能是病态矩阵，但病态矩阵未必一定有这种小主元；（2）若解方程组时出现很大的解，则有可能是病态矩阵，但病态矩阵也可能有一个小解；（3）从矩阵本身来看，若元素间数量级相差很大且无一定规律；或矩阵的某些行（列）近似线性相关，即矩阵的行列式接近于0，这样的矩阵就有可能是病态的。 当然，这些现象只能帮助我们做初步的判断，并且很多病态矩阵也不一定会出现这些现象。最可靠的判别方法是求出矩阵的条件数。2、病态潮流方程的求解（1）最优乘子法潮流方程解不收敛可能是由于修真方程病态使修正量偏大，造成解的振荡，为此在第次修正时采用如下的公式。 （4-34）是标量乘子，应满足 （4-35）上
13、式表明的值应使第次修正后潮流方程的适配量的平方和为最小值。所以叫最优乘子法。式（4-35）是最小二乘目标函数，展开为 （4-36）（4-35）取最小值的条件是 （4-37）为了能求出满足（4-37）的，做如下处理：（1）将用泰勒展开的前两项表示 （4-38）（2）（4-36）中最小二乘函数变为 （4-39）（3）对（4-39）式求对的导数 （4-40）（4）令（4-40）等于0，得 （4-41） 如潮流有解，目标函数会逐渐减小为零；如果无解，目标函数会逐渐减小到一个定值上，越来越小，最后为零，此时得到的解为潮流方程的最小二乘解。（2）、非线性规划法解潮流方程是寻求满足的的值。如果满足，则是的解
14、。潮流方程的求解转化为非线性规划问题。 （4-42）如果上述非线性规划问题的解使目标函数为0，则非线性规划问题的解就是潮流方程的解，潮流方程有解；如果上述非线性规划问题的解使目标函数非0，表明潮流方程无解，非线性规划问题的解是潮流方程的最小二乘解。式（4-42）非线性规划目标函数取极小值的条件是 （4-43）即 （4-44）上式为个方程组成的非线性方程组。为潮流方程变量数，为潮流方程数。可见这种方法不要求潮流方程数与变量数相等。方程组（4-44）求解计算量太大，实用的是最优乘子法。第五节 潮流方程中的二次型一、二次型函数的泰勒展开考虑只包含二次项的代数函数为如下形式 （4-45）该函数三阶以上
15、的导数为零，其各一、二导数为 （4-46）该函数在，处泰勒展开为 （4-47）即二次型函数的泰勒展开二次项部分与原函数有同样的形式，只是变量换成了变量的增量。由于三阶以上的导数为零，所以（4-47）是函数的精确表达。二、潮流方程中的二次型及求解直角坐标形式的潮流方程为仅包含二次项的非线性代数方程组 （4-48）表示为 （4-49）其中为列矢量，是已知量；为潮流方程的函数矢量；为待求变量，是维矢量。按照二次型函数的特点，将（4-49）在解的初值处展开式为 （4-50）是在的雅可比矩阵。（4-50）是（4-49）的精确表达，没任何近似。对于潮流方程取平启动电压为初值，由（4-50）解出并用修正可得
16、原方程的解。但（4-50）也是一个非线性方程组，其形式较原方程一致，所以不是一个可取的解法。 由（4-50）可以得到一个迭代式 （4-51）上式中可保持平启动电压时的值不变，所以是一种定雅可比的算法。的初值可取0。式（4-51）为高斯迭代法，可以使用高斯-赛德尔迭代法改善收敛性。特点是避免了牛顿法每次迭代需要重新计算雅可比矩阵的问题。（4-51）能得到可靠稳定解的条件是非病态，如果病态可采用最优乘子法。将（4-51）修改为 （4-52）值的选取是使（4-50）两端的偏差量的平方和为最小，先写出偏差量的表达式 （4-53）式中 （4-54）目标函数 对目标函数取的的一阶导数，并令其为零，得 （4-55）其中 （4-56）解（4-55）一元三次方程得最优乘子。
