1、第4节 地理趋势面分析地理趋势面模型就是多维趋面的多项式拟合模型，它是趋势面拟合的重要而实用的方法之一，但只是有了计算机才能得以实现。5.1 地理趋势面分析概述 1 地理趋势面模型的概念地理趋势面模型是以已知地理数据序列（含空间数据和属性数据）为基础，根据统计数学的最小二乘法原理和方法而建立的能反映地理要素空间分布趋势和分布规律的多项式型的回归模型。 2地理趋势面分析的概念 地理趋势面分析是指以研究和建立地理趋势面分析的数学模型并用于模拟或者拟合地理要素的空间分布及变化趋势的数理统计方法，主要含义如下：1）地理趋势面分析的理论基础是数理统计学原理和方法；2）地理趋势面分析的数据基础是地理数据，
2、包含地理空间数据和属性数据；3）地理趋势面分析的主要方法是多元回归分析法，即多元线性和多元非线性回归分析法，实质上还是数量统计学著名的最小二乘法； 4）地理趋势面分析的核心任务是地理趋势面模型的建立和求解； 5）地理趋势面分析的主要目的是研究和分析地理实体的空间分布规律、变化过程及变化规律； 6）地理趋势面分析的过程是资料收集与整理、模型建立和求解、模型检验、地理分析； 3 地理趋势面与实际趋面的关系 地理趋势面实质上是一个数学曲面，它是地理趋势面模型的模拟表达形式，其关系为： 实际曲面=趋势面+剩余曲面 对一点而言，就是： 实测值=确定性函数值+随机性函数值 =趋势值+剩余值 4 类型 地理
3、趋势面数学模型的类型有多项式和富氏级两种，主要介绍多项式，根据多项式的元数和次数又可分为： 二元一次多项式，二元二次多项式，二元三次多项式，； 三元一次多项式，三元二次多项式，三元三次多项式，； . . . . . . . . . . . . K元一次多项式， K元二元多项式，K元三次多项式，。 通常选用多项式作为多项式趋势面分析数学模型，这是因为由数学知识可知，任何函数在一定范围内总可以用多项式来逼近，并可以通过调整多项式的次数来满足趋势面分析的需要。一般来说，多项式的次数越高，则趋势值越接近观测值，而剩余值越小。实践证明，一般五至六次就足够了，否则会引起边界效应。5.2地理趋势面分析的数学
4、模型 现在介绍多项式数学模型的建模原理及具体步骤。 1 基本原理 地理趋势面数学模型建立的基本原理仍采用最小二乘法原理，如图5-12，（），使每一个观测值与趋势值的剩余平方和最小，即： 其中： ：为观测值 ： 为预测值 其一般过程是：确定具体趋势面数学模型，线性化处理，建立多元线性回归模型，变换为多项式趋势面数学模型，地理分析。 通常采用多项式作为趋势面数学模型，这是因为由数学知识可知，任何函数在一定范围内总可以用多项式来逼近，并可以通过调整多项式的次数来满足趋势面分析的需要。一般来说，多项式次数越高，则趋势值越接近观测值，而剩余值越小。实践经验表明，一般五-六次足够了，否则会产生边界效应。
5、2 地理趋势面数学模型 主要介绍二元和三元的多项式趋势面数学模型。 首先介绍二元多项式趋势面数学模型。趋势面图如图512所示。 1）一次多项式趋势面数学模型空间分布呈倾斜平面。（1）数学模型其数学模型的一般形式为： （2）建模方法根据最小二乘法原理可得其正规方程组：解此方程组，就可求出参数、的值，即可建立一次多项式趋势面数学模型。同理，可求得数据中心化的正规方程组的一般形式为： 其中： 2）二次多项式趋势面数学模型空间分布呈抛物曲面。（1）数学模型其二次多项式趋势面数学模型的一般形式为： （2）建模方法根据最小二乘法原理可得其正规方程组，二次多项式趋势面数学模型正规方程组的一般形式为： 求解正
6、规方程组可得参数、的值，既可建立二次多项式趋势面数学模型。二次多项式趋势面数学模型数据中心化的正规方程组的一般形式为：其中： 3）三次多项式趋势面数学模型空间分布呈复杂的三次曲面。（1）数学模型其三次多项式趋势面数学模型的一般形式为： （2）建模方法根据最小二乘法原理可得其正规方程组， 三次多项式趋势面数学模型正规方程组的一般形式为：求解正规方程组可得参数、的值，既可建立三次多项式趋势面数学模型。4）四次多项式趋势面数学模型空间分布呈复杂的四次曲面。（1）数学模型其四次多项式趋势面数学模型的一般形式为： （2）建模方法根据最小二乘法原理可得其正规方程组，四次多项式趋势面数学模型正规方程组的一般
7、形式为： 求解正规方程组可得参数、的值，既可建立四次多项式趋势面数学模型。 其中： 5）五次多项式趋势面数学模型（1）数学模型其五次多项式趋势面数学模型的一般形式为： （2）建模方法根据最小二乘法原理可得其正规方程组，五次多项式趋势面数学模型正规方程组的一般形式为：（略）6）六次多项式趋势面数学模型（1）数学模型其六次多项式趋势面数学模型的一般形式为： （2）建模方法根据最小二乘法原理可得其正规方程组，六次多项式趋势面数学模型正规方程组的一般形式为：（略）三元多项式趋势面数学模型7）三元一次多项式趋势面数学模型其三元一次多项式趋势面数学模型的一般形式为： （2）建模方法根据最小二乘法原理可得其
8、正规方程组，三元一次多项式趋势面数学模型正规方程组的一般形式为：求解正规方程组可得参数、的值，即可建立三元一次多项式趋势面数学模型。8）三元二多项式趋势面数学模型其三元二次多项式趋势面数学模型的一般形式为： （2）建模方法根据最小二乘法原理可得其正规方程组，二次多项式趋势面数学模型正规方程组的一般形式为：求解正规方程组可得参数、的值，既可建立三元二次多项式趋势面数学模型。5.3地理趋势面分析的步骤根据地理趋势面分析的基本原理和方法，现介绍其具体步骤，以表4.8中地理数据为例。表4.8地理数据序号XYZ序号xyZ111161443922115155363311316141244111172411
9、551101834861213194477221220546832112115994292225610528233571113122445512231025554133312第一步选择趋势面分析模型本例以二次趋势面分析模型为例，其一般表达式为： 第二步建立趋势面数学模型也就是建立二次趋势面数学模型，具体过程如下：1、求有关项 各变量和项，各变量平方和项，两两变量交叉积和项。 2、求正规方程组二次趋势面数学模型正规方程组的一般形式为：由上述求出的有关项可得二次趋势面数学模型具体数据化的正规方程组为：3、求解正规方程组由求解求逆紧凑变换法可得其解为： 于是可得二次趋势面数学模型为：第三步显著性检验
10、常用F检验法，其具体步骤是：1、求有关项 =214.64322、求F其中p为多项式项数，不含常数项。3、求查表可得：因为F=43.3927，所以二次趋势面分析模型高度显著，可应用于地理趋势面分析。5.4 地理趋势面分析的实习指导5.4.1实习目的1、巩固地理趋势面分析的基本原理和方法步骤。2、掌握趋势面分析程序的运用方法与技巧。3、求取地理趋势面方程并应用于实际地理趋势分析。4、掌握趋势面分析程序的变换应用方法。5.4.2实习内容1、标识符说明N样本个数P多项式项数，不包括常数项M=P+1多项式项数1Q趋势面次数X(N)存放数据xiY(N)存放数据yiZ(N)存放数据ziW(N)存放数据WiX
11、(N, M)存放多项式各项的线性化数据A(M, M)存放矩阵(Lij)mmV(m)存放多项式各项的平均值Y(m)存放LiyB(P)存放回归系数biF(P)存放F比Fi2、程序10PRINT“*趋势面分析*”20PRINT“1一次趋势面2二次趋势面”30PRINT“3三次趋势面4四次趋势面”40PRINT“5五次趋势面6六次趋势面50PRINT“7三元一次趋势面8三元二次趋势面”60PRINT“9三元三次趋势面10三元四次趋势面”70PRINT“11三元五次趋势面12三元六次趋势面”100PRINT“20QUIT”150INPUT“输入样本数N=”；N160INPUT“请输入Q=(112, 20
12、)”；Q170SELECT CASE QCASE 1P=2:M=3:E=1E8DIM X(N),Y(N),Z(N),X(N,M)FOR I=1 TO NREAD X(I), Y(I), Z(I)FORJ=1 TO MX(I, 1)=X(I):X(I,2)=Y(I):X(I,3)=Z(I)NEXT JNEXT ICASE 2P=5:M=6:E=1E8DIM X(N), Y(N), Z(N), X(N, M)FOR I=1 TO NREAD X(I), Y(I), Z(I)FOR J=1 TO M X(I, 1)=X(I):X(I,2)=Y(I):X(I, 3)=X(I)*X(I)X(I, 4)=
13、X(I)*Y(I):X(I, 5)=Y(I)*Y(I):X(I, 6)=Z(I)NEXT JNEXT ICASE 3P=9:M=10:E=1E8DIM X(N), Y(N), Z(N), X(N,M)FOR I=1 TO NREAD X(I), Y(I), Z(I)FOR J=1 TO MX(I, 1)=X(I):X(I, 2)=Y(I):X(I, 3)=X(I)*X(I)X(I, 4)=X(I)*Y(I):X(I, 5)=Y(I)*Y(I):X(I, 6)=X(I)*X(I)*X(I)X(I, 7)=X(I)*X(I)*Y(I):X(I, 8)=X(I)*Y(I)*Y(I)X(I, 9)=Y
14、(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 10)=Z(I)NEXT JNEXT ICASE 4P=14:M=15:E=1E8DIM X(N), Y(N), Z(N), X(N, M)FOR I=1 TO NREAD X(I), Y(I), Z(I)FOR J=1 TO MX(I, 1)=X(I):X(I, 2)=Y(I):X(I, 3)=X(I)*X(I)X(I, 4)=X(I)*Y(I):X(I, 5)=Y(I)*Y(I)X(I, 6)=X(I)*X(I)*X(I):X(I, 7)=X(I)*X(I)*Y(I)X(I, 8)=X(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 9)=Y(I)*Y(I)*Y(
15、I)X(I, 10)=X(I)*X(I)*X(I)*X(I):X(I, 11)=X(I)*X(I)*X(I)*Y(I)X(I, 12)=X(I)*X(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 13)=X(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)X(I,14)=Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 15)=Z(I)NEXT JNEXT ICASE 5P=20:M=21:E=1E8DIM X(N), Y(I), Z(I), X(N, M)FOR I=1 TO NREAD X(I), Y(I), Z(I)FOR J=1 TO MX(I, 1)=X(I):X(I, 2)=Y(I):X(I, 3)=X(
16、I)*X(I)X(I, 4)=X(I)*Y(I):X(I, 5)=Y(I)*Y(I)X(I, 6)=X(I)*X(I)*X(I):X(I, 7)=X(I)*X(2)*Y(I)X(I, 8)=X(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 9)=Y(I)*Y(I)*Y(I)X(I, 10)=X(I)*X(I)*X(I)*X(I):X(I, 11)=X(I)*X(I)*X(I)*Y(I)X(I, 12)=X(I)*X(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 13)=X(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)X(I, 14)=Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 15)=X(I)*X(I)*X(I)*X
17、(I)*X(I)X(I, 16)=X(I)*X(I)*X(I)*X(I)*Y(I):X(I, 17)=X(I)*X(I)*X(I)*Y(I)*Y(I)X(I, 18)=X(I)*X(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 19)=X(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)X(I, 20)=Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 21)=Z(I)NEXT JNEXT ICASE 6P=27:M=28:E=1E8DIM X(N), Y(N), Z(N), X(N, M)FOR I=1 TO NREAD X(I), Y(I), Z(I)FOR J=1 TO MX(I,
18、 1)=X(I):X(I, 2)=Y(I): X(I, 3)=X(I)*X(I)X(I, 4)=X(I)*Y(I):X(I, 5)=Y(I)*Y(I)X(I, 6)=X(I)*X(I)*X(I):X(I, 7)=X(I)*X(I)*Y(I)X(I, 8)=X(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 9)=Y(I)*Y(I)*Y(I)X(I, 10)=X(I)*X(I)*X(I)*X(I):X(I, 11)=X(I)*X(I)*X(I)*Y(I)X(I, 12)=X(I)*X(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 13)=X(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)X(I, 14)=Y(I)*Y(I)*Y(
19、I)*Y(I):X(I, 15)=X(I)*X(I)*X(I)*X(I)*X(I)X(I, 16)=X(I)*X(I)*X(I)*X(I)*Y(I):X(I, 17)=X(I)*X(I)*X(I)*Y(I)*Y(I)X(I, 18)=X(I)*X(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 19)=X(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)X(I, 20)=Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 21)=X(I)*X(I)*X(I)*X(I)*X(I)*X(I) X(I, 22)=X(I)*X(I)*X(I)*X(I)*X(I)*Y(I):X(I, 23)=X(I)
20、*X(I)*X(I)*X(I)*Y(I)*Y(I)X(I, 24)=X(I)*X(I)*X(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 25)=X(I)*X(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)X(I, 26)=X(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I):X(I, 27)=Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)*Y(I)X(I, 28)=Z(I)NEXT JNEXT ICASE 7P=3:M=4:E=1E8DIM X(N), Y(N), Z(N), W3(N), X(N, M)FOR I=1 TO NREAD X(I), Y(I), Z(I), W3(I)F
21、OR J=1 TO MX(I, 1)=X(I):X(I, 2)=Y(I)X(I, 3)=Z(I):X(I, 4)=W3(I)NEXT JNEXT ICASE 8P=9:M=10:E=1E8DIMX(N), Y(N), Z(N), W3(N), X(N, M)FOR I=1 TO NREAD X(I), Y(I), Z(I), W3(I)FOR J=1 TO MX(I, 1)=X(I):X(I, 2)=Y(I):X(I, 3)=Z(I)X(I, 4)=X(I)*X(I):X(I, 5)=X(I)*Y(I)X(I, 6)=Y(I)*Y(I):X(I, 7)=X(I)*Z(I)X(I, 8)=Y(I
22、)*Z(I):X(I, 9)=Z(I)*Z(I)X(I, 10)=W3(I)NEXT JNEXT I200END SELECT 250DATA 1, 1, 16, 2, 1, 15, 3, 1, 13, 4, 1, 11, 5, 1, 10, 1, 2, 13, 2, 2, 12260DATA 3, 2, 11, 4, 2, 9, 5, 2, 8，1, 3, 12, 2, 3, 10, 3, 3, 12, 4, 3, 9265 DATA 5, 3, 6, 1, 4, 12, 2, 4, 11, 3, 4, 8, 4, 4, 7, 5, 4, 6,1, 5, 9 270DATA 2, 5, 6,
23、 3, 5, 7, 4, 5, 5, 5, 5, 42000DIM A(M, M), V(M), Y(M), W(M), B(P), F(P)2010FOR I=1 TOM2020C=02030W(I)=02040FOR T=1 TO N2050C=C+X(T, I)2060NEXTT2070V(I)=C/N2080PRINT V(I)，2090NEXT I2100REM形成正规方程的系数矩阵2155FOR I=1 TO M2160FOR J=I TO M2165C=02170FOR T =1 TO N2175C=C+(X(T, I)V(I)*(X(T, J)V(J)2180NEXT T218
24、5A(I, J)=C2190A(J, I)=C2200NEXT J2202 NEXT I2205FOR I=1 TO M2210Y(I)=A(I, M)2215NEXT I2217REM求解求逆紧凑计算格式2220FOR K=1 TO P2225IF A(K, K)E THEN 23002230FOR I=1 TO M2235FOR J=1 TO M2240IF I=K THEN 22602245IF J=K THEN 22552250A(I, J)=A(I, J)A(I, K)*A(K, J)/A(K, K)2255NEXT J2260NEXT I2265FOR I=1 TO M2270IF
25、 I=K THEN 22852275A(K, I)=A(K, I)/A(K, K)2280A(I, K)=A(I, K)/A(K, K)2285NEXT I2290A(K, K)=1/A(K, K)2295GOTO23102300W(K)=K2305PRINT“no solution k=”；W(K)2310NEXT K2313REM求b0和bi2315C=02320FOR I=1 TO P2325IF W(I)0 THEN 23502330B(I)=A(I, M)2335 S=B(I)2340C=CB(I)*V(I)2345PRINT“b”；I，“=”；S2350NEXT I2355S=V(
26、M)C2360PRINT“b0=”；S2363REM求并印出，误差(y)，误差百分比2365PRINT“yt”，“eyt”，“et”，“et%”2370FOR J=1 TO N2375L=S2380FOR I=1 TO P2385IF W(I)0 THEN 23952390L=L+B(I)*X(J, I)2395NEXT I2400D=X(J, M)2405E=DL2410E1=E*100/D2415PRINT D, L, E, E12420NEXT J2425S0=Y(M)2430U=02435FOR I=1 TO P2440IF W(I)0 THEN 24502445U=U+B(I)*Y(
27、I)2450NEXT I2453REM求相关系数R，均方差，方程的F值，回归系数的Fi值2455Q=S0U2460R=SQR(U/S0)2465S1=SQR(Q/(NM)2470F=U*(NM)/(P*Q)2475PRINT“R=”；R，“Sigma=”；S1, “F=”；F2480FOR I=1 TO P2485IF W(I)0 THEN 25002490F(I)=B(I)*B(I)*(NM)/(A(I, I)*Q)2495PRINT“F”；I；“=”F(I)2500NEXT I2505END5.4.3实习过程具体过程：首先进入QBASIC状态，然后输入趋势面分析程序；接着运行该程序。运行命
28、令操作后，屏幕显示：样本数N=?于“?”后输入25请输入Q=(112, 20)？于“?”后输入1!二元一次趋势面分析屏幕显示运行结果如下：b1=1.360849b2=1.485566b0=18.16481R=0.9547803Sigma=0.984765F=113.4421F1=100.451F2=117.4609yTEYTETET(以下略)接着按任意键继续。此时屏幕显示程序再次操作运行命令屏幕显示：样本个数N=?于“?”后输入25屏幕显示：请输入Q=(112, 20)?于“?”后输2!二元二次趋势面分析屏幕显示运行结果b1=1.250575b2=1.136772b3=4.415705E02b
29、4=5.137936E02b5=8.342788E02b0=17.72626R=0.9567558Sigma=1.019632F=41.10748F1=2.277102F2=2.070866F3=0.1251759F4=0.2619347F5=0.4666542再按任意键继续，此时屏幕又显示出程序，继续操作运行命令，屏幕显示：要本数N=？于“?”后输入17屏幕显示：请输入Q=(112, 20)?于“?”后输入7！三元一次趋势面分析屏幕显示运行结果如下：b1=0.3582002b2=0.5120393b3=0.4472653b0=8.54092R=0.903702Sigma=1.761358F=19.30441F1=2.667992F2=5.562515F3=3.709085.4.4程序的变换应用1、样本数N值N=25！二元趋势的样本数N=17！三元趋势面样本数2、DATA语句(1)二元三六次趋势面分析DATA语句中数据均不变，当屏幕显示请输入Q=(112, 20) ?于“?”后输入三六即可。观察运行结果。(2)三元趋势面分析将DATA语句中数据均删除，重新输入数据，顺序为：运行程序，屏幕显示：请输入Q=(112, 20)？于“？”后输入7或8等观察运行结果。
