1、1 课程名称 高等数学 2 第 11章 曲线积分与曲面积分 curvillnear integral and surface integral 3 问题的提出 对弧长的曲线积分的概念 几何意义与物理意义 对弧长的曲线积分的计算 小结 思考题 作业 第一节 第一类曲线积分 第十章 曲线积分与曲面积分 4 一、问题的提出 实例 sM 匀质 之质量 分割 121 , nMMM ,),( iii s取 iiii sM ),(求和 niiii sM1 ),(取极限 M取近似 曲线形构件的质量 近似值 精确值 对弧长的曲线积分 niiii s1 ),(0limO xy2M1nMABLis1iM),( ii
2、 1MiM5 二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义 设 L为 xOy面内一条光滑曲线弧 , ,is 为又 ),( ii ,),( iii sf ,),(1niiii sf 在 L上有界 . ),( yxf函数作乘积 并作和 如果当各小弧段的长度的最大值 ,0时对弧长的曲线积分 在 L上任意插入一点列 把 L分成 n个小段 . 设第 i个小段的 第 i个小段上任意取定的 长度为 一点 , O xy2M1nMABLis1iM),( ii 1MiM1 2 1, , , nM M M 6 曲线形构件的质量 L syxM d),(,d),(L syxf 即 L syxf d),(这和的极限存在 , 则称
3、此极限为 ),( yxf函数在曲线弧 L 对弧长的曲线积分 或 第一类曲线积分 . 积分和式 被积函数 弧元素 积分弧段 记作 niiii sf1),( niiii sf1),( 对弧长的曲线积分 0lim注意 : 被积表达式都定义在曲线上 ,即满足曲线的方程 . 7 2. 存在条件 上在光滑曲线弧当 Lyxf ),(3. 推广 上在空间曲线弧函数 ),( zyxf szyxf d),(.d),( 存在L syxf对弧长的曲线积分 连续 , 对弧长的曲线积分为 iniiii sf 10),(lim对弧长的曲线积分 8 注意 ,)()1( 是分段光滑的或若 L 21d),(LL syxf在函数
4、),()2( yxfL syxf d),()( 21 LLL 1d),(L syxf 2d),(L syxf闭曲线 L上 对弧长的曲线积分 记作 (对路径具有可加性 ) 对弧长的曲线积分 9 4. 性质 L syxgyxf d),(),( LL syxfsyxkf d),(d),(1) LL syxgsyxf d),(d),(2) )( 为常数kk(3) 与积分路径的方向无关 , 即 L syxf d),(L syxf d),()(AB )(BA 对弧长的曲线积分 10 在一条光滑 (或分段光滑 )的 是 L上 关于 x 的奇函数 L syxf d),(是 L上关于 x 的偶函数 ,d),(21LsyxfL1是曲线 L落在 y 轴一侧的部分 . 在分析问题和算题时常用的 L关于 x=0 对称 , 补充 对称性质 曲线 L上连续 , ),( yxf设函数则 ,0 当 ),( yxf (或 y) (或 y) 当 ),( yxf(或 y=0) (或 x) 运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时 , 应同时考虑被积函数 与积分曲线 L的对称性 . ),( yxf对弧长的曲线积分
