1、1 5 公因数与最大公因数 知识点 1 公因数和最大公因数的概念 几个数公有的因数 叫做这几个数的 公因数 其中最大的一个 称为这几个 数的 最大公因数 几个数的公因数必须包含它们公有的素因数 至少一个 而几个数的最大 公因数必须包含它们全部公有的素因数 例题 求 18 和 30 的最大公因数 解法 1 18 的因数有 1 2 3 6 9 18 30 的因数有 1 2 3 5 6 10 15 30 18 和 30 的公因数有 1 2 3 6 最大的公因数是 6 拓展 以上的例题 3 有没有更快捷的方法呢 解法 2 把 18 和 30 分别分解素因数 18 2 3 3 30 2 3 5 可以看出
2、 18 和 30 全部共有的素因数是 2 和 3 因此 2 和 3 的乘积 6 就是 18 和 30 的最大公因数 求几个整数的最大公因数 只要把它们所有的素因数连乘 所得的积就是它 们的最大公因数 解法 3 为了简便 也可以用 短除法 计算 18 和 30 的最大公因数是 2 3 6 知识点 2 互素 如果两个整数只有公因数 1 那么称这两个数 互素 注 互素是指两个数之间的关系 与素数没有因果关系 在以 下情况下可以判断两个数是互素 1 两个不同的素数 互素 2 1 和任何正整数 互素 3 两个相邻的正整数互素 除到两个商 互素为止 用公用的素因数 3 除 用公用的素因数 2 除 53 1593 2 3018 4 一个素数和一个合数 且没有倍数关系 它们是互素 知识点 3 求最大公因数的方法 1 列举法 分别列出两个数的因数 从公因数中找出它们的最大公因数 2 分解素因数法 把两个数分解素因素 最大公因数就是它们公有素因素的 乘积 3 短除法 用两个数的公因数去除 除到商是互素为止 所有除数的乘积就 是这两个数的最大公因数 4 特征法 如果两个数是互素 它们的最大公因数是 1 如果较小数是较大数的因数 那么较小数就是这两个数的最大公 因数
