1、2020 5 13 电子信息工程学院 1 第六节矩阵的Jordan标准形 一 矩阵及其Smith标准形 1 矩阵 以数域上的变量的多项式为元素的矩阵 其中 是数域上的变量的多项式 例如 矩阵的特征矩阵 就是一个 矩阵 2020 5 13 电子信息工程学院 2 第六节矩阵的Jordan标准形 矩阵的秩 不恒等于零的子式的最高阶数称为 矩阵的秩 记为 例 矩阵的逆 若两个阶的 矩阵和满足 则称为可逆矩阵 或为单模矩阵 并称是的逆矩阵 记为 定理1 6 1 矩阵可逆的充要条件是是数域中的非零常数 2020 5 13 电子信息工程学院 3 第六节矩阵的Jordan标准形 2 矩阵的初等变换 三种初等变
2、换为 1 两行 或列 互换位置 2 某行 或列 乘以不等于零的数 3 某行 或列 乘以的多项式加到另一行 或列 三种初等变换对应三个不同的初等矩阵 由单位矩阵作相应的初等变换即可得其对应的初等矩阵 初等矩阵都是可逆矩阵 当对 矩阵进行行变换时 相当于左乘相应的初等矩阵 当对 矩阵进行列变换时 相当于右乘相应的初等矩阵 且施行初等变换不改变 矩阵的秩 2020 5 13 电子信息工程学院 4 第六节矩阵的Jordan标准形 定义1 6 4 等价变换 若 矩阵经有限次初等变换化为 矩阵 则称与等价 记为 矩阵的等价关系与数字矩阵一样 满足自反性 对称性和传递性 3 矩阵的标准形 定理1 6 2 任
3、一非零的 矩阵都等价于一个如下形式的标准对角形 矩阵 其中是的秩 是的首一多项式 且 将称为的Smith标准形 2020 5 13 电子信息工程学院 5 第六节矩阵的Jordan标准形 例1 6 1 求的Smith标准形 解 2020 5 13 电子信息工程学院 6 第六节矩阵的Jordan标准形 例1 6 2 解 2020 5 13 电子信息工程学院 7 第六节矩阵的Jordan标准形 可以证明 在 矩阵的标准形中 对角线上的非零元素不随矩阵初等变换而改变 称为的不变因子 4 矩阵的行列式因子 定义1 6 4 设 矩阵的秩为 对正整数中 必有非零的阶子式 称中所有的阶子式的首一最大公因式为的
4、阶行列式因子 记为 行列式因子 2020 5 13 电子信息工程学院 8 第六节矩阵的Jordan标准形 由定义可知 一个阶 矩阵的阶行列式因子能整除任一个阶子式 而由行列式的展开可知一个阶行列式可表示为个阶子式的代数和 从而能整除任一个阶子式 因此 能整除 即 2020 5 13 电子信息工程学院 9 第六节矩阵的Jordan标准形 2020 5 13 电子信息工程学院 10 第六节矩阵的Jordan标准形 于是有 2020 5 13 电子信息工程学院 11 第六节矩阵的Jordan标准形 5 矩阵的初等因子 将 矩阵的不变因子分解成各因式的乘积形式 即 其中互异 且由不变因子的整除性 有
5、所有指数大于零的因子都称为的初等因子 全部初等因子称为的初等因子组 其中称为与相当的初等因子组 2020 5 13 电子信息工程学院 12 第六节矩阵的Jordan标准形 解 于是不变因子为 初等因子组为 Smith标准形为 2020 5 13 电子信息工程学院 13 第六节矩阵的Jordan标准形 由初等因子求不变因子的情况 主要应用于对角矩阵或分块对角矩阵的不变因子或Smith标准形的计算 设有分块对角 矩阵 定理1 6 4 则的初等因子组的全体就是的初等因子组 如 矩阵 其初等因子组为 不变因子为 Smith标准形为 2020 5 13 电子信息工程学院 14 第六节矩阵的Jordan标
6、准形 定理1 6 5 与均为的 矩阵 2020 5 13 电子信息工程学院 15 第六节矩阵的Jordan标准形 二 矩阵的Jordan标准形 1 Jordan形矩阵和Jordan块 定理1 6 6 设是复数域上的线性空间的线性变换 任意取的一个基 在该基下的矩阵为 或 的特征多项式可分解因式为 则可分解为不变子空间的直和 其中是线性变换的核子空间 如果给每个子空间选择一个适当的基 每个子空间的基合并起来即为的基 且在该基下的矩阵为如下形式的准对角矩阵 2020 5 13 电子信息工程学院 16 第六节矩阵的Jordan标准形 其中 形如上述形式的方阵称为Jordan形矩阵 其中方阵称为Jor
7、dan块 2020 5 13 电子信息工程学院 17 第六节矩阵的Jordan标准形 2 Jordan块的特征矩阵及Smith标准形 Jordan块的特征矩阵 因此 的Smith标准形为 每一个Jordan块的特征矩阵仅有一个初等因子 即 因此Jordan标准形的特征矩阵的初等因子就是每一个Jordan块的初等因子的总合 即为 2020 5 13 电子信息工程学院 18 第六节矩阵的Jordan标准形 例1 6 5 其中包含有三个Jordan块 Smith标准形为 和同理 其初等因子分别为 的初等因子为 因此的特征矩阵的Smith标准形为 2020 5 13 电子信息工程学院 19 第六节矩阵
8、的Jordan标准形 3 矩阵的Jordan标准形 定理1 6 7 每个阶复矩阵都有一个与之相似的Jordan标准形 这个Jordan标准形在不计Jordan块的排列顺序时 完全由矩阵惟一决定 即每一个矩阵都有一个与之相似的Jordan标准形 定理1 6 8 证明 设矩阵的特征矩阵的初等因子为 其中可能有相同值 2020 5 13 电子信息工程学院 20 第六节矩阵的Jordan标准形 每个初等因子对应一个Jordan块这些构成一Jordan标准形 的特征矩阵的全部初等因子也为 因而与具有相同的初等因子组 因而有相同的Smith标准形 即 将矩阵化成其Jordan标准形的步骤为 1 写出的特征
9、矩阵 2 求出的全部初等因子 3 写出每个初等因子所对应的Jordan块 4 由Jordan块组合为的Jordan标准形 2020 5 13 电子信息工程学院 21 第六节矩阵的Jordan标准形 例1 6 6 求矩阵的Jordan标准形 解 2020 5 13 电子信息工程学院 22 第六节矩阵的Jordan标准形 4 广义特征向量 如何寻找使得的非奇异矩阵 是矩阵的属于特征值的特征向量 是矩阵的属于特征值的特征向量 是非齐次方程的解向量 称为矩阵的属于特征值的广义特征向量 2020 5 13 电子信息工程学院 23 第六节矩阵的Jordan标准形 例1 6 7 求例1 6 6中的过渡矩阵 使得 二重 2020 5 13 电子信息工程学院 24 第六节矩阵的Jordan标准形
