1、2005 11 5 第八章状态估计 卡尔曼滤波 8 1系统的描述8 2最小方差估计8 3线性最小方差估计8 4最小二乘估计8 5投影定理8 6卡尔曼滤波 状态估计 2005 11 5 8 1系统的描述 8 1 1状态空间模型随机状态空间模型描述 8 1 2差分方程模型随机差分方程模型 2005 11 5 8 2最小方差估计 的误差方阵为 2005 11 5 最小 注意到 2005 11 5 2005 11 5 表8 1 2005 11 5 解 2005 11 5 解 表8 2 2005 11 5 估计误差的方差为 2005 11 5 解 由已知可求出 DX P 再根据正态分布中的条件概率可知
2、2005 11 5 8 3线性最小方差估计 定义8 3 2使误差方差阵 2005 11 5 令则于是有 2005 11 5 要方差最小 必须令 由此推得 2005 11 5 其误差方差阵 根据遍历性定理 往往可以比较容易地求得通常容易获得 2005 11 5 进而求得 8 1 试求的线性最小方估计 解 根据表中数据可以求出 2005 11 5 解 例8 3 2已知和的联合分布如表8 2 试求 2005 11 5 估计误差为方差 的线性最小方差估计为 2005 11 5 小于前面最小方差估计时的误差方差 线性最小方差估计的统计性质为 1 线性 2 无偏性 3 正交性 由于 所以 2005 11
3、5 2005 11 5 8 4最小二乘估计 最小二乘估计是一种经典的估计方法 设所得估计值为 则第次量测值与相应估计 将此误差的平方和记为 2005 11 5 下面来求最小二乘估计 采用向量矩阵形式记 2005 11 5 令 则有 2005 11 5 解 采用记号 2005 11 5 则可将两个观测方程合成一个观测方程 2005 11 5 在最小二乘估计中 既不需要知道联合概率分布 也不需要知道随机变量的二阶矩 因此方便于实际应用 但应该注意最小二乘估计属于线性估计 其误差方差阵通常大于线性最小方差估计的误差方差阵 2005 11 5 8 5投影定理 1 2 3 投影定理 则称为在向量上的投影
4、 记为 定义 如果一个与同维数的随机向量具有性质 其中为矩阵 2005 11 5 式中 证 根据投影定义和投影的唯一性原理 只需证明它们满足定义中的三个性质 1 首先证明第一部分 8 5 2 令 则 2 设为三个随机向量 维数分别为 2005 11 5 正交性 2 其次证明第二部分 2005 11 5 无偏性 正交性 2005 11 5 8 6卡尔曼滤波 状态估计 8 6 1无控制项的线性动态系统的滤波考虑离散动态系统 2005 11 5 其中 为模型噪声 为观测向量 为观测噪声 为已知观测矩阵 表示利用对第的估计值当j k时称为滤波值 j k时称为外推或预报值 j k时称为内插或平滑 200
5、5 11 5 的初始状态与噪声序列均不相关 即 对模型噪声和观测噪声作如下假设 状态噪声和观测噪声为互不相关的白噪声 2005 11 5 2005 11 5 同理可得 式 8 6 1 简化为 2005 11 5 其中 由于 由此得 2005 11 5 式中 则 2005 11 5 式 8 6 4 可进一步简化为 2005 11 5 例8 6 1考虑由数量方程 所定义的随机过程 其中 观测方程为 其中观测噪声白噪声序列 设 试求出时状态的的卡尔曼滤波值 解 由公式可知 2005 11 5 滤波误差为 重复上述步骤 进一步递推 可得 此时滤波误差为 2005 11 5 几点说明 1 对随机过程进行的观测与递推估计的次数越多时 零均值的观测噪声由于相互抵消而引起的误差越来越小 滤波值就越来越准确 2 并不是任何系统都有极限 对于完全能控能观的线性定常系统 极限存在 返回
