1、 第十章 习题课 一 一 二重积分基本概念 二 直角坐标下计算二重积分 三 极坐标下计算二重积分 二重积分概念与计算 内容小结 1 二重积分化为二次积分的方法 直角坐标系情形 若积分区域为X型 则 若积分区域为Y型 则 则 2 一般换元公式 且 则 极坐标系情形 若积分区域为 在变换 下 3 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积分好算为妙 图示法 不等式 先找两端点 后积一条线 充分利用对称性 应用换元公式 设函数 上下对称 D位于x轴上方的部分为D1 当区域关于y轴对称 左右
2、对称 函数 看x 关于 在D上 在闭区域D上连续 区域D关于x轴对称 则 变量看y 则 变量x有奇偶性时 仍有类似结果 二重积分的对称性 在第一象限部分 则有 二重积分的对称性特别重要 如 D1为 典型例题 例1 设 且 则 分析 交换积分顺序后 x y互换 等于 例2 设f x 为连续函数 则 等于 B C D 0 A 分析 交换积分次序 变成定积分积分上限函数 选B B O x y t 1 y x 1 例3 设 是由曲线 和 围成的平面区域 则 A 等于0B 符号与 有关 与 C 符号与 有关 与 无关D 符号与 都有关 无关 分析 如图 x y o 由积分区域的对称性 选C C 例4 设
3、 连续 且 是由 围成 则 A B C D 分析 注意到二重积分是数 故设 则 o u v 选C C 例5 计算 其中D由 所围成 解 令 如图所示 显然 在 上 在 上 1 0 1 0 例6 则 分析 如图 由对称性知 在 上是关于y的奇函数 在 上是关于x的偶函数 A 其中 为圆周 所围成的闭区域 例7 解 如图 由积分区域的对称性 有 例8 计算 其中 是由 及 所围成的区域 是 上的连续函数 解 如图 做辅助线 将区域分成两部分D1 D2 D1 D2 例9 计算 其中D是直线 所围成的闭区域 解 由被积函数可知 因此取D为X 型域 先对x积分不行 例10 交换积分顺序 解 积分域如图
4、解 原式 例11 给定 改变积分的次序 其中 例12 计算 解 如图 为去掉绝对值 做辅助线 将区域分成两部分D1 D2 D1 D2 由积分区域的对称性 有 例13 解 例14 计算 解 如图 1 2 4 2 2 1 1 例15 设区域 是中心在原点 半径为 的圆盘 求 解 如图 由积分中值定理 存在 使 于是 1 或者 由洛必达法则 1 例16 设二元函数 解 当 时 计算 其中 由对称性 当 时 于是 其中 为圆周 所围成的闭区域 例17 解 如图 由积分区域的对称性 有 例18 设f x 是在 0 1 上连续 单调减少的正值函数 证明 证明 x 0 1 且f x 0 上述四个积分都大于零 令 变成二重积分 交换变量符号 于是 将上两式相加 得 因f x 单调递减 所以当 时 当 于是总有 从而有 例19 设f x 在 0 1 上连续 证明 证明 因为D关于x y对称 所以 设 所以 交换变量符号 例20 设 为可微函数且 证明 证明 例21 设 在单位圆上有连续偏导数 且在边界上 证明 取值为零 证明 令 则 从而 因为 在单位圆的边界上取值为零 则当 时 因此 故 由积分中值定理
