1、第一节向量的内积 长度及正交性 线性代数 定义1 内积 一 向量的内积的概念 说明 1 维向量的内积是3维向量数量积的推广 但是没有直观的几何意义 或 3 内积是一个数 等于其相应分量的乘积之和 试求的内积 例1已知 解 内积的运算性质 当且仅当时等号成立 定义2 令 向量的长度具有下述性质 二 向量的长度及性质 解 定义3 1 正交的概念 正交向量组的概念 三 正交向量组的概念及求法 若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量 则称此向量组为正交规范向量组或标准正交向量组 例如 为正交规范向量组 为正交规范向量组 又如 是两个等价的正交规范向量组 证明 正交向量组的性质 反之不成立 即线性无关
2、的向量组不一定是正交向量组 成为正交向量组 解 设 则 即 由 得 从而有基础解系 即为所求 施密特正交化方法是将一组线性无关的向量作如下的线性变换 化为一组与之等价的正交向量组的方法 可以证明 对任何 向量组等价 四 Schmidt 施密特 正交化方法 上述由线性无关向量组构造出正交向量组的过程 称为施密特正交化过程 解正交化 取 先说明向量组线性无关 再单位化 得正交规范向量组如下 例5 解 再把它们单位化 取 例6 解 把基础解系正交化 即合所求 亦即取 为正交矩阵的充要条件是的行 列 向量组为正交规范向量组 证明 定义6 定理3 五 正交矩阵与正交变换 即的行向量组为正交规范向量组 将A用行向量表示为 例7判别下列矩阵是否为正交阵 所以它是正交矩阵 由于 解 解 所以它不是正交矩阵 考察矩阵的第一列和第二列 由于 例8 解 定理4设都是阶正交方阵 则 或 也是正交方阵 证明 1 因为A是正交矩阵 则 2 A B是正交矩阵 则有 定义7若为正交阵 则线性变换称为正交变换 证明 性质正交变换保持向量的长度不变 1 将一组线性无关向量组正交规范化的方法 先用施密特正交化方法将其正交化 然后再将其单位化 小结 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立
