1、第八章离散时间系统的Z域分析 本章的主要内容 z变换定义 典型序列的z变换z变换的收敛域逆z变换z变换的基本性质z变换与拉氏变换的关系利用z变换解差分方程离散系统的系统函数序列的傅里叶变换 第一节引言 一 Z变换方法的发展历史 1730年 英国数学家棣莫弗 DeMoivre1667 1754 将生成函数 generationfunction 的概念引入概率理论中 19世纪拉普拉斯 P S Laplace 至20世纪的沙尔 H L Seal 等人贡献 20世纪50 60年代z变换成为重要的数学工具 z变换的地位与作用 类似于连续系统中的拉普拉斯变换 二 z变换的引入 借助于抽样信号的拉氏变换引出
2、 连续因果信号x t 经均匀冲激抽样 则抽样信号xs t 的表示式为 两边取拉氏变换 z变换的引入 积分与求和的次序对调 引入一个新的复变量z 第二节Z变换定义 典型序列的z变换 一 Z变换定义 Z变换定义 Z变换定义 二 典型序列的Z变换 典型序列的Z变换 典型序列的Z变换 第三节Z变换的收敛域 一 Z变换的收敛域 Z变换的收敛域 Z变换的收敛域 举例8 1 举例8 1 举例8 1 举例8 1 二 几类序列的Z变换收敛域 1 有限长序列 此序列只在有限的区间 n1 n n2 具有非零的有限值 此时 Z变换为 1 n10时 除z 及z 0外 X z 在z平面上处处收敛 即收敛域为 几类序列的Z
3、变换收敛域 2 n1 0 n2 0时 除z 外 X z 在z平面上处处收敛 即收敛域为 3 n1 0 n2 0时 除z 0外 X z 在z平面上处处收敛 即收敛域为 所以 有限长序列的z变换收敛域至少为 且有可能包括z 或z 0点 几类序列的Z变换收敛域 2 右边序列 此序列是有始无终的序列 即当 n n1时x n 0 此序列的Z变换为 几类序列的Z变换收敛域 看出 可见 右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分 1 如果n1 0 则收敛域包括z 即收敛域为 2 如果n1 0 则收敛域不包括z 即收敛域为 3 如果n1 0 则右边序列变成因果序列 即因果序列是右边序列的一种特殊情况 其收敛域为
4、 几类序列的Z变换收敛域 3 左边序列 此序列是无始有终的序列 即当 n n2时 x n 0 此序列的Z变换为 几类序列的Z变换收敛域 几类序列的Z变换收敛域 1 如果n2 0 则收敛域不包括z 0 即收敛域为 2 如果n2 0 则收敛域包括z 0 即收敛域为 几类序列的Z变换收敛域 4 双边序列 双边序列是从n 延伸到n 的序列 此序列的Z变换为 双边序列看成右边序列和左边序列的z变换叠加 几类序列的Z变换收敛域 作业 P1038 1 8 2 8 3 8 12 第四节逆z变换 一 逆Z变换 逆Z变换 二 求逆Z变换方法 举例8 2 举例8 2 由此写出 逆Z变换 举例8 3 举例8 3 逆Z
5、变换 逆Z变换 举例8 5 举例8 5 作业 P1038 4 8 5 8 6 第五节z变换的基本性质 一 Z变换的基本性质 注 如果线性组合中某些零点与极点相抵消 则收敛域可能扩大 举例8 6 线性叠加后 序列的z变换收敛域扩大到全平面 举例8 7 举例8 7 Z变换的基本性质 举例8 8 举例8 8 从本题可以看出用z变换求解差分方程的方法 它只需用到z变换的两个性质 即线性性和平移性 Z变换的基本性质 可见 时域序列乘n等效于z域中求导且乘以 z 举例8 9 举例7 3 Z变换的基本性质 可见x n 乘以指数序列等效于z平面尺度展缩 举例8 10 Z变换的基本性质 Z变换的基本性质 举例8
6、 11 举例8 12 举例8 12 Z变换的基本性质 Z变换的基本性质 举例8 13 举例8 13 举例8 13 举例8 13 其它性质 其它性质 作业 P1048 7 8 8 8 13 8 17 8 19 8 20 第五节z变换与拉普拉斯变换的关系 一 Z变换与拉氏变换的关系的闭合形式 二 Z变换与拉氏变换的映射关系 二 Z变换与拉氏变换的映射关系 Z变换与拉氏变换的映射关系 Z变换与拉氏变换的映射关系 Z变换与拉氏变换的映射关系 三 Z变换与拉氏变换表达式之对应关系 Z变换与拉氏变换的关系 举例8 14 举例8 15 第七节利用Z变换解差分方程 一 Z变换解差分方程 基于Z变换的线性和位移
7、性 把差分方程转化为代数方程 从而使求解过程简化 Z变换解差分方程 Z变换解差分方程 举例8 17 举例8 17 作业 P1068 21 2 6 8 24 8 25 8 26 3 5 第八节离散系统的系统函数 一 单位样值响应h n 二 系统函数H z 举例8 18 求下列差分方程所描述的离散系统的系统函数和单位样值响应 三 系统函数H z 的零极点分布对系统特性的影响 系统函数H z 四 系统的稳定性和因果性 2 离散系统的稳定性判别法 1 罗斯判别法 用罗斯判别法判定在s右半平面上有几个根 即可知道其稳定性 只适用于从模拟系统变为离散系统采用双线性变换的情况下 举例1 举例1 第一系数均为
8、正 故系统是稳定的 举例2 2 裘利判别法 Jury 2 裘利判别法 Jury 2 裘利判别法 Jury 举例3 举例4 举例8 19 举例8 19 作业 P1078 27 8 29 第九节离散时间系统的频率响应特性 一 离散系统的频响特性的意义 同连续系统中频率响应的地位和作用类似 所谓 频响特性 是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况 这包括幅度随频率的响应以及相位随频率的响应 对于稳定的因果离散系统 令单位样值响应为h n 系统函数为H z 如果输入是正弦序列 离散系统的频响特性的意义 因为系统是稳定的 H z 的极点均位于单位园之内 离散系统的频响特性的意义 离散系统的频响特性的意义 离散系统的频响特性的意义 二 频响特性分析 二 频响特性分析 三 离散系统 数字滤波器 频响特性分析 频响特性分析 举例8 22 举例8 22 举例8 22 作业 P1078 30 8 32 8 33 8 34 8 37 8 38 总复习 z变换定义 典型序列的z变换z变换的收敛域逆z变换z变换的基本性质z变换与拉氏变换的关系利用z变换解差分方程离散系统的系统函数离散时间系统的频率响应特性
