1、03 00 1 第一章向量代数 向量的代数运算 内积 外积和混合积向量的线性相关性和仿射坐标系加法规则 三角形法则 平行四边形法则 多边形法则仿射坐标系 直角坐标系两个向量共线 它们线性相关 坐标成比例三个向量共面 它们线性相关 混合积为零 坐标组成的行列式为零四个空间向量必线性相关 03 00 2 向量运算的坐标表示 03 00 3 向量运算的坐标表示 03 00 4 内积的基本性质 两个向量正交当且仅当它们的内积为零 03 00 5 外积的运算性质 外积的交换律和结合律都不成立两个向量共线当且仅当它们的外积为零 03 00 6 第二章行列式 置换 逆序对 逆序数 符号 排列的符号 行列式的
2、定义 n阶方阵的一个函数 n 个项的和 每一个项带正负号 第二个指标的排列的符号 每一行取一个元 且要求n个元所在的列不同行列式的性质 计算行列式的方法克拉默法则 求解特殊的线性方程组行列式按一行或一列展开拉普拉斯定理 行列式按多行或多列展开 03 00 7 行列式的性质 1 性质1 03 00 8 行列式的性质 2 性质2 性质3 行列式有一行 或一列 全为零时 行列式为零 性质4 交换行列式的两个行 行列式改变符号 性质5 行列式有两行 或两列 成比例时 行列式为零 性质6 把行列式的某一行 或某一列 的c倍加到另一行 或另一列 上 行列式的值不变 03 00 9 展开定理 克拉默法则 0
3、3 00 10 第三章线性方程组与线性子空间 线性方程组的初等变换把线性方程组变成与它同解的方程组 任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成行阶梯形矩阵 任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成简化行阶梯形矩阵 非齐次线性方程组的解的情况 唯一解 无解 无穷多解齐次线性方程组的解的情况 有非零解的条件几个相关概念 主变量 自由未知量 一般解 齐次线性方程组的秩 03 00 11 第三章线性方程组与线性子空间 非齐次线性方程组的求解 初等行变换 简化 行阶梯形矩阵若出现矛盾 则方程组无解 秩 A b 秩A 1 否则有解 秩 A b 秩A 若秩A n 有唯一解 若秩A n 有无穷多解 齐次线性
4、方程组的求解 秩A n 有唯一解 若秩A n 有无穷多解 若A为方阵 则AX 0有非零解 det A 0齐次线性方程组的解的结构 基础解系张成的线性子空间非齐次线性方程组的解的结构 一个特解与齐次线性方程组的解的和 线性流形 03 00 12 第三章线性方程组与线性子空间 线性相关性与线性方程组线性子空间线性子空间的交集是线性子空间线性子空间的和是线性子空间任何线性子空间都包含0元素若干向量的线性组合的全体的集合是线性子空间 生成子空间 齐次线性方程组的解集是线性子空间基 可以表示所有向量的线性无关向量组基的存在性 性质维数和秩的概念 03 00 13 第四章 利用向量 行列式和线性方程组的理
5、论研究几何空间中的平面与直线的仿射性质和度量性质平面的方程一般方程 三点式方程 参数方程 点法式方程直线的方程标准方程 参数方程 两点式方程 一般方程平面之间的位置关系 相交 平行 重合从秩的观点看直线之间的位置关系 相交 平行 重合 异面直线与平面的位置关系 相交 平行 包含点到直线的距离 点到平面的距离 异面直线的距离两个平面的夹角 平面与直线的夹角 公垂线 03 00 14 第五章 矩阵的秩线性方程组有解当且仅当方程组的系数矩阵系数矩阵与增广矩阵有相同的秩 且当秩与未知量的个数相等时 方程组的解是唯一的齐次线性方程组有非零解 秩 n在取定线性空间的基后 线性变换与矩阵之间存在一一对应的关
6、系矩阵加法与减法运算矩阵的乘法与除法 逆 运算分块 初等矩阵初等变换与矩阵的乘积的关系矩阵的逆的求法 矩阵方程的求解 初等行变换 03 00 15 第六章 1 概念 线性空间 一个非空集合 一个数域 两种代数运算 八条规则欧几里得空间 线性空间 内积 对称性 线性 正定性 长度 夹角 正交 线性空间同构 存在映射满足1 一一映射 2 线性 欧几里得空间同构 存在线性空间同构映射且保内积 同构 维数相同基 维数 坐标 正交向量组 正交基 规范正交基度量矩阵 规范正交基的度量矩阵 线性子空间的和与直和补子空间 正交补空间 正交投影正交变换与正交矩阵 旋转变换 镜像变换及其矩阵 03 00 16 第
7、六章 2 方法 无关向量组的扩充 利用矩阵的初等变换求子空间的基和维数 Gram Schmidt正交化方法 正交投影的求法 最小二乘问题的求解 03 00 17 第六章 3 主要结果 线性子空间W W1 W2是包含W1与W 2的最小的线性子空间 线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基 维数公式 利用基的扩充 Cauchy Schwarz不等式或Cauchy Buniakowski不等式 勾股定理 内积由度量矩阵完全确定 正交向量组一定是线性无关的 欧几里得空间必存在规范正交基 最佳逼近元与正交投影的关系 正交变换与正交矩阵的性质 03 00 18 矩阵的初等变换 化矩阵为
8、简化 行阶梯形矩阵求方阵的行列式求解线性方程组求矩阵的秩求矩阵的逆求矩阵的等价标准形求解矩阵方程 03 00 19 空间 几何空间 n维向量空间 线性空间 欧氏空间空间向量 n维向量 一般向量线性相关性 基 坐标 维数线性子空间的和与交 维数公式线性无关组的扩充线性无关的证明 03 00 20 矩阵 行列式 线性方程组 行列式是方阵的函数 不同的矩阵可以有相同的行列式 克拉默法则 求解特殊的线性方程组 秩A r 存在非零的r阶子式 不存在非零的r 1阶子式求解线性方程组Ax 求坐标 求组合系数 找n维列向量x使得Ax 设A 1 2 n 找x1 x2 xn使得 x1 1 x2 2 xn n即向量 用A的列线性表示的系数Ax 有解 可用A的列线性表示 1 2 n与 1 2 n 等价 秩A 秩 A
