1、立几5: 空间的垂直关系知识梳理1直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也_这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内_直线垂直于同一个平面的两条直线_垂直于同一直线的两个平面_2直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的_所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，说它们所成角为_；直线l或l，则它们成_角3平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法利用判定定理：一个平面过另一个平面的_，则这两
2、个平面垂直(2)平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一个平面垂直4二面角的平面角以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角基础练习1平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线l，l，l B存在一个平面，C存在一个平面， D存在一条直线l，l，l2设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则l B若l，lm，则mC若l，m，则lm D若l，m，则lm3对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得，都垂直于； 存在平面，使得，都平行于；存在直线l，直线m，使得lm；存在异面直线
3、l、m，使得l，l，m，m.其中，可以判定与平行的条件有()A1个 B2个 C3个 D4个4已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是()A若m，n，则mn B若，则C若m，m，则 D若m，n，则mn5已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为_典型例题题型一线面垂直的判定与性质例1RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC.求证：BD平面SAC.变式1在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角
4、形，平面VAD底面ABCD.证明：ABVD.题型二面面垂直的判定与性质例2如图所示，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC平面ABCD.变式2如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD； (2)平面BEF平面PAD.题型三直线与平面，平面与平面所成的角例3如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD2a，ADa，点E是SD上的点，且DEa(02)(1)求证：对任意的(0,2，都有ACBE；(2)
5、设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若tan tan 1，求的值变式3如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D、E分别在棱PB、PC上，且DEBC.(1)求证：BC 平面PAC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值(3)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由方法归纳1证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面平行的性质：，aa；(5)面面垂直的性质：，l，a，ala.2证明线线垂直的方法：(1)定义：两条直线的
6、夹角为90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a，bab；(4)线面垂直的性质：a，bab.3证明面面垂直的方法：(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.练 习一、选择题1已知直线a，b和平面，且a，b，那么是ab的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；若m，mn，n，则；若m，n，则mn.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D33设，是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：若，l，则l
7、；若l，l，则；若l上有两点到的距离相等，则l；若，则.其中正确命题的序号是()A B C D4下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面5平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是()A一条直线 B一个圆 C一个椭圆 D双曲线的一支二、填空题6如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PAa，PBPDa，则它的5个面中，互相垂直的面有_对(第六题图) （第七题图
8、)7如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：点H是A1BD的中心；AH垂直于平面CB1D1；AC1与B1C所成的角是90.其中正确命题的序号是_8正四棱锥SABCD底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为_三、解答题9在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.(1)求证：平面EFG平面PDC；(2)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比10如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，DB平分ADC，E为PC的中点，ADCD1，DB2.(1)证明：PA平面BDE；(2)证明：AC平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值11如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点(1)求直线B1C与DE所成角的余弦值；(2)求证：平面EB1D平面B1CD；(3)求二面角EB1CD的余弦值第 5 页 共 5 页
