2011考研数学概率论与数理统计基础课程讲义(全部)..doc-道客多多

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1、新东方在线 2011 考研数学网络课堂电子教材系列概率与统计11、概念网络图公/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验 BCBAPE2、重要公式和结论（1）排列组合公式从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(nPnm从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。C（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完

2、成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

3、任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大新东方在线 2011 考研数学网络课堂电子教材系列概率与统计2写字母 A， B， C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（ A 发生必有事件 B发生）： B如果

4、同时有，，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B： A=B。A、 B 中至少有一个发生的事件： A B，或者 A+B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。A、 B 同时发生： AB，或者 AB。A B=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为。它表示 A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率：

5、(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)德摩根率： 1iiA，BBA（7）概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1， 2 P() =13 对于两两互不相容的事件 1A， 2，有11)(iiiP常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件的概率。（8）古典概型1 ，n21,2 。PPn)()()设任一事件 A，它是由组成的，则有m21,P(A)= =)()(21 )()(21mPnm基本事件总数所包含的基本事件数（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的

6、可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，新东方在线 2011 考研数学网络课堂电子教材系列概率与统计3。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。)(AP（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时，P( )=1- P(B)（12）条件概率定义设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称为事件 A 发生条件)(PB下，事件 B 发生的条

7、件概率，记为。/(A条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式： )/()(BPA更一般地，对事件 A1，A 2，A n，若 P(A1A2An-1)0，则有21P n )|(|3 21|(APn)nA。（14）独立性两个事件的独立性设事件、 B满足 )()(BP，则称事件、 B是相互独立的。若事件、相互独立，且 0A，则有)()()(|(AP若事件、 B相互独立，则可得到与 B、与、 A与 B也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设

8、 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式设事件 n,21 满足1 两两互不相容， ),21(0)niBPi，2 ni1，则有 )|()|()|()( 221 nnBAPABAP。（16）贝叶斯公式设事件 1， 2， n及满足1 ，，两两互不相容， i0， 1，2，n，新东方在线 2011 考研数学网络课堂电子教材系列概率与统计42 niBA1， 0)(P，则，i=1，2，n。

9、nj jjiii AP1)/()/(此公式即为贝叶斯公式。，（ i， 2，），通常叫先验概率。，（ 1i，)(iB )/(ABPi2， n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A发生或不发生；次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n重伯努利试验。用 p表示每次试验发生的概率，则 A发生的概率为 qp1，用)(kPn表示重伯努利试验中出现 )

10、0(k次的概率，knkqC， ,210。例 11：有 5 个队伍参加了甲 A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例 12：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和 Titanic 号，问有多少种走法？例 13：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例 14：10 人中有 6 人是男性，问组成 4 人组，三男一女的组合数。例 15：两线段 MN 和 PQ 不相交，线段 MN 上有 6 个点 A1，A 2，A 6，线段 PQ 上有 7 个点 B1，B 2，B 7。

11、若将每一个 Ai和每一个 Bj连成不作延长的线段 AiBj(i=1,2,6;j=1,2,7),则由这些线段 A iBj相交而得到的交点（不包括 A1，A 6，B 1，B 713 个点）最多有A 315 个 B 316 个 C 317 个 D 318 个例 16：3 封不同的信，有 4 个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例 17：某市共有 10000 辆自行车，其牌照号码从 00001 到 10000，求有数字 8 的牌照号码的个数。例 18：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的种数？（有序）151C21151C例 19：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的

12、种数？（有序）新东方在线 2011 考研数学网络课堂电子教材系列概率与统计512413C1812415C例 110：3 白球，2 黑球，任取 2 球，至少一白的种数？（无序）14 95例 111：化简 (A+B)(A+ )( +B)BA例 112：成立的充分条件为：)()(CA(1)C (2) C例 113：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的概率？例 114：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的概率？例 115：3 白球，2 黑球，任取 2 球，至少一白的概率？例 116：袋中装有个白球及个黑球。从袋中任取 a+b 个球，试求其中含 a 个白球，b

13、个黑球的概率（a，b）。从袋中任意地接连取出 k+1（k+1+）个球，如果取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率。上两题改成“放回” 。例 117：从 6 双不同的手套中任取 4 只，求其中恰有一双配对的概率。例 118：有 5 个白色珠子和 4 个黑色珠子，从中任取 3 个，问其中至少有 1 个是黑色的概率？例 119：设 O 为正方形 ABCD坐标为（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1）中的一点，求其落在 x2+y21 的概率。例 120：某市共有 10000 辆自行车，其牌照号码从 00001 到 10000，求偶然遇到的一辆自行车，其牌照号码中有数字

14、8 的概率。例 121：一只袋中装有五只乒乓球，其中三只白色，两只红色。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。试求：两只球都是白色的概率；两只球颜色不同的概率；至少有一只白球的概率。例 122：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？第一次打开；第二次打开；第三次打开。例 123：某工厂生产的产品以 100 件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过 3 件，并具有如下的概率：一批产品中的次品数0 1 2 3概率 0.10.20.30.4现在进行抽样检验，从每批中抽取 10 件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求一批产品通过检验的概率。例

15、 124：某工厂生产的产品以 100 件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过 3 件，并具有如下的概率：一批产品中的次 0 1 2 3新东方在线 2011 考研数学网络课堂电子教材系列概率与统计6品数概率 0.10.20.30.4现在进行抽样检验，从每批中抽取 10 件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求通过检验的一批产品中，恰有 ),10(i件次品的概率。例 125：A，B，C 相互独立的充分条件：（1） A， B， C 两两独立（2） A 与 BC 独立例 126：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为 0.8，求目标

16、被射中的概率。例 127：有三个臭皮匠独立地解决一个问题，成功解决的概率分别为0.45，0.55，0.60，问解决该问题的能力是否赶上诸葛亮（成功概率为 0.9）？例 128：假设实验室器皿中产生 A 类细菌与 B 类细菌的机会相等，且每个细菌的产生是相互独立的，若某次发现产生了个细菌，则其中至少有一个 A 类细菌的概n率是。例 129：袋中装有个白球及个黑球，从袋中任取 a+b 次球，每次放回，试求其中含 a个白球，b 个黑球的概率（a，b）。例 130：有 4 组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？例 131：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为，则在

17、成功 2 次之前p已经失败 3 次的概率为：A B C2)(p3)1(4p32)1(0D E31第二节重点考核点事件的运算、概率的定义（古典概型和几何概型）、条件概率和乘法公式、全概和贝叶斯公式、独立性和伯努利概型第三节常见题型1、事件的运算和概率的性质例 132：(A B)-C=(A-C) B 成立的充分条件为：(1)A B= (2) C=A新东方在线 2011 考研数学网络课堂电子教材系列概率与统计7例 133：A,B,C 为随机事件， “A 发生必导致 B、C 同时发生”成立的充分条件为：(1) ABC=A (2)ABC=A例 134：设 A，B 是任意两个随机事件，则 =)(

18、)(BAAP。例 135：假设事件 A 和 B 满足 P（B | A）=1，则（A） A 是必然事件。（B）。（C）。（D）。 0)(2、古典概型和几何概型例 136：有两组数，都是1，2，3，4，5，6，分别任意取出一个，其中一个比另一个大 2 的概率？例 137：52 张扑克牌，任取 5 张牌，求出现一对、两对、同花顺的概率。例 138：设有 n 个质点，每个以相同的概率落入 N 个盒子中。设 A=“指定的 n 个盒子中各有 1 个质点” ，对以下两种情况，试求事件 A 的概率。（1）（麦克斯威尔-波尔茨曼统计）假定 N 个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限。（

19、2）（费米-爱因斯坦统计）假定 n 个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点。例 139：袋中有 10 个球，其中有 4 个白球、6 个红球。从中任取 3 个，求这三个球中至少有 1 个是白球的概率。例 140：侯车问题：某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每个乘客到站等车时间不多于 2 分钟的概率。例 1 41：会面问题：甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的

20、时间都是两小时，求它们会面的概率是多少？3、条件概率和乘法公式例 142：从 0 到 9 这 10 个数中任取一个数并且记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为 8 时，出现 5 的概率是多少？例 143：一个家庭有两个孩子，已知至少一个是男孩，问另一个也是男孩的概率？4、全概和贝叶斯公式例 144：在盛有 10 只螺母的盒子中有 0 只，1 只，2 只，10 只铜螺母是等可能的，今向盒中放入一个铜螺母，然后随机从盒中取出一个螺母，则这个螺母为铜螺母的概率是新东方在线 2011 考研数学网络课堂电子教材系列概率与统计8A 6/11 B5/

21、10 C5/11 D4/11例 145：有 5 件产品，次品的比例为 20，从中抽查 2 件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？例 146：有 5 件产品，每件产品的次品率为 20，从中抽查 2 件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？例 147：发报台以概率 0.6 和 0.4 发出信号“ ”和“” ，由于通信系统存在随机干扰，当发出信号为“ ”和“”时，收报台分别以概率 0.2 和 0.1 收到信号“”和“” 。求收报台收到信号“”时，发报台确实发出信号“”的概率。例 148：100 个球，40 个白球，60 个红球，先后不放回取 2 次，问第 2 次取到白球的概率？例 149：袋中

22、有 4 个白球、6 个红球，先从中任取出 4 个，然后再从剩下的 6 个球中任取一个，则它恰为白球的概率是。例 150：设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，（1）求先抽到的一份是女生表的概率 p；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q。5、独立性和伯努利概型例 151：设两两相互独立的三事件 A，B，C，满足：，并且，求事件 A 的概率。21)()(, PBABC 169)(P例 152：设 P(A)0,P(B)0，证明（1）若 A 与

23、 B 相互独立，则 A 与 B 不互斥；（2）若 A 与 B 互斥，则 A 与 B 不独立。例 153：对行任意二事件 A 和 B，（A）若 AB ，则 A， B 一定独立。（B）若 AB ，则 A， B 有可能独立。（C）若 AB= ，则 A， B 一定独立。（D）若 AB= ，则 A， B 一定不独立。例 154：“A,B,C 为随机事件，A -B 与 C 独立”的充分条件：(1) A,B,C 两两独立（2）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）例 155：设 A， B， C 是三个相互独立的随机事件，且 0 P（ C）1。则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（A）与 C。

24、（B）与。A（C）与。（D）与。例 156：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： =掷第一次出现正面，1新东方在线 2011 考研数学网络课堂电子教材系列概率与统计9=掷第二次出现正面， =正、反面各出现一次， =正面出现两次，则2A3A4A事件（A）相互独立。（B）相互独立。321, 432,（C）两两独立。（D）两两独立。例 157：某班车起点站上车人数是随机的，每位乘客在中途下车的概率为 0.3，并且它们下车与否相互独立。求在发车时有 10 个乘客的条件下，中途有 3 个人下车的概率。例 1 58：某种硬币每抛一次正面朝上的概

25、率为 0.6，问连续抛 5 次，至少有 4 次朝上的概率。例 159：A 发生的概率是 0.6，B 发生的概率是 0.5，问 A,B 都不发生的最大概率？例 160：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐” ）内的红球数与黑球数之比为 2：1，另一罐（取名“乙罐” ）内的黑球数与红球数之比为 2：1 。今任取一罐并从中取出 50 只球，查得其中有 30 只红球和 20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的(A) 154 倍 (B)254 倍 (C)798 倍 (D)1024 倍第四节历年真题数学一：1（87，2 分）设在

26、一次试验中 A 发生的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为；而事件 A 至多发生一次的概率为。2（87，2）三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有3 个黑球 3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出 1 个球，这个球为白球的概率等于。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为。3（88，2 分）设三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等，若已知 A 至少出现一次的概率等于，则事件 A 在一次试验中出现的概率为。2794（88，2 分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事

27、件“两数之和小于”的概率为。565（89，2 分）已知随机事件 A 的概率 P（ A）=0.5，随机事件 B 的概率P（ B）=0.6 及条件概率 P（ B | A）=0.8，则和事件 A B 的概率 P（ A B）=。6（89，2 分）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。新东方在线 2011 考研数学网络课堂电子教材系列概率与统计107（90，2 分）设随机事件 A， B及其和事件 A B 的概率分别是 0.4, 0.3 和0.6，若表示 B 的对立事件，那么积事件 A 的概率 P（ A ）= 。8（9

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