1、第21讲 行程与工程内容概述 运动路线或路况复杂，与周期性或数论知识相关联，需进行优化设计等具有相当难度的行程问题工作效率发生改变，要完成的项目及参加工作的对象较多的工程问题 典型问题 1。如图21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的当小王到达A后9分钟，小张到达D那么A至D全程长是多少千米? 【分析与解】 BE是BC的，CE是BC的，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时间多，也就
2、是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图： 另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C.小张从B到G 小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多) 因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9=18(分钟) 因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟走B至C全程(平路)要30分钟 从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)； 从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)； A至D全程长是(36+54)+30=11.5千米
3、 2如图2l-2，A，B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是米，如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向曰点，并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米? 【分析与解】 4=即蓝精灵跳4次到A点圆半径扩大一倍即乘以2后，跳8次到A点 圆半径乘以4后，跳16次到A点 依次类推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A点1000次跳完后圆周长是1=128米 3已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5
4、步的路程相同而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程? 【分析与解】 方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49 设单位时间内猫跑1米，则狗跑米，兔跑米 狗追上猫一圈需300(-1)= 单位时间， 兔追上猫一圈需300(-1)= 单位时间 猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是的整数倍，又是的整数倍. 与的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数,即=8437.5 上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相
5、遇此时，猫跑了8437.5米，狗跑了8437.5=23437.5米，兔跑了8437.5=165375米方法二：有猫跑35步的路程与狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而猫跑15步的时间与狗跑25步的时间，兔跑21步的时间相同所以猫、狗、兔的速度比为，它们的最大公约数为. 即设猫的速度为，那么狗的速度为 ，则兔的速度为 于是狗每跑300(625-225)= 单位时追上猫； 兔每跑300(441-225)= 单位时追上猫 而，所以猫、狗、兔跑了单位时，三者相遇 有猫跑了225=8437.5米，狗跑了625=23437.5米，兔跑了441=16537.5米 评注：方法一、方法二中的相遇时间一个是8
6、437.5单位，一个是单位，可是答案却是一样的，为什么呢? 在方法二中，如果按下面解答会得到不同答案，又是为什么?哪个方法有问题呢?自己试着解决，并在今后的学习中避免这种错误 于是狗每跑300(625-225) 625=米追上猫； 兔每跑300(441-225)441=米追上猫； 而， 4一条环形道路，周长为2千米甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点那么环行2周
7、最少要用多少分钟? 【分析与解】 如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为： 而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3 因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长 于是，甲步行的距离为2=0.8千米；则骑车的距离为22-0.8=3.2千米； 所以甲需要时间为()60=19.2分钟 环形两周的最短时间为19.2
8、分钟 参考方案如下：甲先步行0.8千米，再骑车3.2千米； 乙先骑车2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6千米(丙留下的自行车) ； 丙先骑车3.4千米，再步行0.6千米5甲、乙两项工程分别由一、二队来完成在晴天，一队完成甲工程需要12天.二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40，二队的工作效率要下降10结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天? 【分析与解】 晴天时，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高-=；雨天时，一队、二队的工作效率分别为(1-40%)=和(1-10%)=,这时二队的工作效率比一队高-=.由:=5:3知，要两个队同
9、时完工，必须是3个晴天，5个雨天，而此时完成了工程的3+5=，所以，整个施工期间共有6 个晴天,10个雨天. 6画展9时开门，但早有人来排队等候入场从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队那么第一个观众到达的时间是8时几分? 【分析与解】 由题意可得两个等式，如下： (开门前排队人数)+(9分钟内到的人数)=3(每个入口每分钟进的人数)9 (开门前排队人数)+(5分钟内到的人数)=5(每个入口每分钟进的1人数)5 -得:4分钟内到的人数=2(每个人口每分钟进的人数)从而有:每个入口每分钟进的人数=2(每分钟进
10、的人数)代入得，开门前排队人数=252-5=45分钟内到的人数因此第一个人是8点15(=60-45)分到达的 7甲、乙、丙3名搬运工同时分别在3个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时第二天3人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了16小时后同时搬运完毕问丙在A仓库做了多长时间? 【分析与解】 设第一天的每个仓库的工作量为“1”， 那么甲、乙、丙的合作工作效率为=，第二天，甲、乙、丙始终在同时工作，所以第二天两个仓库的工作总量为16=4，即第二天的每个仓库的工作总量为42=2于是甲工作了16小时只完成了16=的工程量，剩下的2-=的工程量由丙帮助完成，则丙需工作=6(小时).丙在A仓库做了6小时
