1、方程（组）与 不等式（组）,德清县第二中学 姚俊英,一、数学课程标准中对方程（组）与不等式（组）内容和考查要求,1方程与方程组（1）能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。（2）经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。（3）会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。（4）理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。（5）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。,2不等式与不等式组（1） 能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。（2
2、）会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。（3）能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。,二、部分省市中考试卷中方程与方程组、不等式与不等式组内容的分析,综观2008、2009年全国各省市的中考试卷，方程与方程组、不等式与不等式组的内容在整卷中都占据了一定的比重。考查的主要方式有直接考查和间接考查两种，直接考查就是考查其解的概念、解法，不等式（组）解集的表示，求整数解以及列方程（组）或不等式（组）解决实际问题；间接考查就是在重点考查其他知识的过程中，结合了对方程（组）与不等式（组）内容
3、的考查，或体现了这些内容所反映的思想和方法，例如，求函数自变量的取值范围、求函数的解析式等，并且在综合题（或压轴题）中出现的频率较高。,三、基于本专题的复习建议,（一）复习建议1.重视教材资源的利用用挖掘例1（2009，鄂州）根据下图所示，对a、b、c三种物体的质量判断正确的是（ ）C A、ac D、bc,例2 (2009，温州)某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张若要做两种纸盒共l00个，设做竖式纸盒2个根据题意，完成以下表格：按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?(2)若有正方形纸板
4、162张，长方形纸板口张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完已知290a306则n的值是 (写出一个即可),2。落实双基，在基础方面用足时间，做大文章,例3 （2009，福州）解不等式： 并在数轴上表示解集 例4 （2009，湖州）解方程： . 例5 （2009，青海）已知代数式与是同类项，那么的值分别是（ ）CABCD,3以不变求变，以不变应万变,例6（2008江苏.泰安）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大。当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的1/2。已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第1次敲击后铁钉进入木块
5、的长度是2cm，若铁钉总长度为a cm，则的取值范围是答案：3a3,4加强方程思想渗透及建模能力的培养,例7（2009，齐齐哈尔）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电
6、脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？,5、关注计算量大、知识点综合的题目,例13（2009年浙江省湖州市）已知抛物线 （ ）与Y轴相交于点A，顶点为M.直线 分别与X轴，Y轴相交于 两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则； (2)如图，将 沿Y轴翻折，若点的N对应点N恰好落在抛物线上,AN 与X轴交于点D，连结CD M求的a值和四边形ABCD的面积；(3)在抛物线 （ ）上是否存在一点P ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，
7、试说明理由.,例14（2009年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系 中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为5/6 ，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、
8、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由,四、本专题的易错点及纠正,（一）一元一次方程部分例1 ：解方程7 x=8,得7x= 8 =x= 纠错： 7 x=8，x= 注意：解方程用等号连等到底的错误，是把解方程的同解变形与代数运算的恒等变形相混淆造成的。利用方程的同解原理对方程进行变形后，方程的解虽不变，但新方程的两边与原方程已经不一样了，所以不能用等号连等到底。,例2： x x=1，去分母，5x3x=1纠错：5x3x=6注意：去分母时不能出现漏乘现象，方程两边都要乘以同一个不为零的数。即去分母项项乘以最简公分母。例3： =1,得 =10纠错： =1注意：化小数
9、为整数不同于去分母，不是方程两边同乘以一个数，而是将分子、分母同乘以一个数。同解变形与分数变形不能混淆。例4：解 = ，去分母，得2x+45x5=5x纠错：2（x+4）5(x5)=5x,2x+85x+25=5x注意：去分母要乘以各分母的最小公倍数，这时要把分子作为一个整体加上括号；且去括号时，如括号前为“”括号里的各项都改变符号。不能忽视分数线的括号作用。,（二）二元一次方程组部分例1解方程组 x+5y=6 3x6y4 由，得x=6-5y. 把代入，得6-5y+5y=6 6=6纠错：把代入，得（6-5y）-6y=4。解得y= 把y= 代入 ，得x= x= y=注意：不能循环代入（由得 ，又代入
10、），否则无法解方程组。强调验算。,例2解方程组 2x+3y=4 , 4x3y2用代入法将变形为 x= . 代入,得4 y=2.解得y= 代入 ，得x=1 x=1 y= 注意：虽上述解法没错，但观察此题相应系数特点用加减法较简单。要善于选择代入法和加减法，“快而准”地解二元一次方程组。一看特点，二选方法, 灵活运用两种方法。,例3:解三元一次方程组 2x+y= x+2y+z=2. 3xy+3z=6. 错解：+消 z，得x+y=1. +3消y, 得5x+2z=7、中还是有三个未知数，则无法解下去了纠错: +消 z，得x+y=1纠错: +消 z，得x+y=1.3+3消z, 得9x+2y=9联立、，得
11、x+y=1 解得 x=1 x=1 9x+2y=9 y=0 将 y=0代入，得z=1 x=1 y=0 z=1 注意：解三元一次方程组过程中所体现的是数学中化归的重要思想：通常是先将三元化为二元，在这个过程中要防止出现循环消元的错误（即两次消的元不一样而导致两个二元一次方程中还含有三个未知数，这样的实质上就没有达到消元的目的）。,（三）不等式和不等式组,例1 若2，则x2纠错:如图,所示,可利用数轴来解: 2 0 2 到原点距离大于2的点.在x2或x2处.注意：含绝对值的不等式不能用含绝对值的方程的方法去解（常用绝对值的几何意义来解）。用数轴表示是数形结合的具体体现，具有直观的特点。数轴是解不等式
12、（组）有关问题的重要工具。 例2 解不等式组4xx+1 3x+12x1 ，得x5x+2,则52纠错：解得x5,解得x2，如图所示注意：解不等式组不能像解方程组那样用代入加减方消元，而应分别求出每个不等式的解集，然后再求公共解集。例3:解不等式 1，得x2x+3, 23,本题无解纠错：解不等式不能像解方程那样直接去分母（不知分母的正负性），而应变形成 0（或 0）的形式，再利用不等式组(a0, a0, a0, a0,)来求解。 b0, b0, b0, b0,例4：解不等式1-3x4解： -3x4-1，x-1纠错：-3x4-1， x-1注意：不等式两边除以同一个负数时，不等号方向改变。,（四）一元
13、二次方程,例1：已知关于x的一元二次方程（a1）x2+x+a21=0,的一个根是0， 则a=1纠错：将x=0代入方程（a1）x2+x+a21=0 得a21=0，a=1或a=1 原方程是关于的一元二次方程，a10 即a1，故 a=1例2:解（x1）2=36，得x1=6，即x=7纠错：x1=6，则x1=6或x1=6，故x1=7,x2=5注意：一个非负数有两个平方根（不能“丢根”）。,例3:用公式法求一元二次方程2x+x21=0的解为x=纠错：先整理成x22x1=0，再利用公式得x=1注意：用公式法求解时： 化为一般形式；a、b、c的符号不能丢；公式里“负号”不能掉。例4:用公式法求一元二次方程x2
14、+3x+7=0的解为x= 纠错：b24ac=9417=190，则原方程无解。注意：用公式法解时最好先算b24ac，若它小于0,则方程无实数解，不需要再继续用公式做了。例5:已知实数满足a27a+2=0, b27b+2=0.则 + = = =22纠错：还遗漏了一种情况：当a=b时， + =2故 + 的值为22 或2注意：若此题中给了“ab”这一条件时，则只有一解。,例7 设 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ） A2006 B2007 C2008 D2009,（五）分式方程,例1：解方程 = 两边除以x-2，得 = x=7 是原方程的根。纠错：去分母不能除以含未知数的代数式x-2，没有验根。注
15、意：解分式方程要防止失根。分式方程一定要验根。,=,例2：已知关于x的分式方程 + = 1无解，求m的值。错解：将原方程化为整式方程(1m)x=2 原方程无解，1m0解得m=1纠错：将原方程化为: (1m)x=2原方程无解，1-m0或=3解得m=1或 m=注意：导致分式方程无解的原因有两个：去分母后的整式方程无解；化简后的整式方程虽然有解，但这个解恰好使原方程最简公分母为0。,五、提高计算正确率的措施。,要提高初中学生的计算能力，我打算从以下几点入手。1发现阶段使学生正确理解和掌握概念、性质、公式和法则等数学基础知识是提高学生运算能力的根本途径。 具体做法：（1）对学生的练习、作业、测试中出现
16、运算能力上存在的问题进行统计、归类，可用表格的形式对运算错误记录说明。（2）采用“双管齐下”的方式了解：一方面是老师对每一处错误的分析意见；另一方面是学生自己找错误原因，然后通过面批订正的错题、个人谈心等多渠道了解他们自己的看法。（3）收集、汇总出错原因。（4）严格计算过程，规范演算草稿。,2、提升阶段具体做法：（1）思想教育，引发学生对提高计算正确率的愿望。（2）只要审题时，排除外界干扰，认真、仔细，注意力专注于解题，这样错误率就会大大降低。（3）在学习过程中，常遇到学生们一错再错的现象。因此，我建议每一位学生都准备一本错题集。（4）培养学生的反思、自查能力。（5）、培养良好的计算习惯。1 、培养认真审题的习惯。 2、培养认真计算的习惯。训练学生计算时要有耐性，不急躁，认真思考，即使做简单的计算题也要谨慎。 3、培养巧妙估算的习惯。一是系统计算前进行估算，可估计出得数的范围；二是系统计算后进行估算，可判断出得数是否正确合理。4、培养及时检验的习惯。（6）引入竞争机制，实现自我超越。,六、思考 中考数学试卷题量大，时间紧，一部分同学不能及时完成，如何解决准确率与速度之间的矛盾，仍需我们继续探索的一个课题。请多提供您的宝贵经验。,
