1、双曲型方程 Cauchy 问题解的惟一性和稳定性 下面利用能量积分来研究无界区域的Cauchy问题解 的惟一性和稳定性 2 2 2 0 5 20 0 0 t u au fxyt t xy t uxy xy u xy xy xy 考虑下面的定解问题 但是这时在整个平面上计算能量积分 2222 1 5 21 txy E t u a u u dxdy 可能出现上述积分发散 所以考虑在有限区域上计算能量积分 由于膜振动具有有限的依赖区域 对空间中的任意一 点 过该点的特征锥面与初始平面t 0所 围成的锥体为K 000 xyt 于是锥体K在xOy平面上的截面 22 2 000 0 0 x xyyatat
2、tt 222 00 0 0 5 22 xx yy at 就是一个有限区域 由决定区域知 解u x y t 在K中任一点的值 均由 初始值 在区域 内的值以及f在锥体内 的值来完全确定 0 u x y t 在 内任一点的值 都由 中的初始数 据唯一确定 0 0 tt 当 时 锥体K在平面 上的截面 t 22 2 000 5 23 xx yy at a 0 这时 在 外的数据对u在 的值没有任何 影响 0 即在 外任一点的能量 在 时刻不会传到 中 0 因此在 上薄膜的总量能量不会超过 上的总 能量 也就是 0 110 EE 定理4 16 设u x y t 在K内满足 5 10 中的齐次波动方程
3、则在K内任意 截面成立能量不等式 0 2222 1 222 2 10 1 2 1 5 24 2 t ttxy xy Euaudxy adxdyE 证明 我们只需证明 在K内是t的非增函数就行 了 即证 1 t E 1 0 t dE dt 为此我们利用含参变量积分对参数的求导公式 得 0 0 2 2222 1 00 2 2222 2222 00 1 2 1 22 t at at r t txy at at r txy txy dE d uauudsdr dt dt da uauudsdr uauuds dt 0 2 2 1 00 2222 2 t at at r t ttt x y ttxy d
4、E uu au u dsdr dt ua au u a u u ds n 再由Green公式可得 其中 为区域 的边界 22 00 t rxx yy t ds表示圆弧的微元 rd 上式右端的第一项等于零 而第二项的被积函数可写成 所以 222 22 cos cos 2 cos cos 0 2 tx ty t x y xt yt a auu nx uu ny uauu a au u n x au u n y 1 0 t dE dt 这就证明了 5 24 2 00 0 0 0 0 tt xx yy t tt uauu xy t uu xy 定理4 17 若Cauchy问题 5 20 的解存在 则解
5、惟一 证 只要证明定解问题 由齐次初始条件知 10 0 E 根据不等式 5 24 对任意的 我们有 0 0 tt 1 0 t E 0 xyt uuu uC 即 再由初始条件 及u 0 0 t u 在锥K内的连续性 即得 0 uxyt 定理证毕 下面我们来讨论Cauchy问题 5 20 的解对初始数据的连续 依赖性 为此 对解u x y t 在 上引入积分 t 2 2 2 0 11 5 25 22 t t t L Eut uxytdxy ii 关于t求导 利用Cauchy不等式 得 2 0 22 01 2 11 tt tt t t t tt dE a uu xytdxdy uds dt uxyt
6、dxdy uxytdxdy EE 利用Gronwall不等式 得到能量不等式 再利用不等式 5 24 便得 0 t 5 27 两端关于t从0到 积分 在锥体K内 0 2 0100210 0 2 t t K u dxdydt E dt c E c E 000 1 0 5 26 t tt t EEeeeEd 00010 1 5 27 tt t EEeEe 其中 是仅与 有关的两个常数 12 cc 0 t 由此即得 定理4 18 Cauchy 问题 5 20 的解 对初始数据在下述意 义下 对任意的正数 存在正数 在锥K的底面 0 上 只要有 22 00 2 2 0 0 12 1 2 12 12 LL xx yy L L 则在K内以 为初值的解与以 为初值的解之 差 满足 11 22 2 2 12 1 2 2 LK LK K utut u u x y t dxdydt u K 其中表示在上的平方模
