1、专题 2 不等式 函数与导数 第 4 讲 导数与定积分 B 卷 一 选择题 每题 5 分 共 30 分 1 2015 山东省滕州市第五中学高三模拟考试 4 01 xed A e B 1 C 32 D 32 2 2015 德州市高三二模 4 月 数学 理 试题 9 6ax 展开式的常数项是 15 右图阴影部分是由曲线 2yx 和 圆 2yx 及 轴围成的封闭图形 则封闭图形的面积为 A 146 B 146 C D 3 江西省新八校 2014 2015 学年度第二次联考 12 已知定义域为 R的奇函数 xf的导函 数 xf 当 0 时 0 xff 若 1 sinifa 3 b 3 lnc 则下列关
2、于 cba 的大小关系正确的是 A ab B c C D ab 4 2015 赣州市高三适用性考试 4 5 2015 赣州市高三适用性考试 12 若函数 2 ln 0 3xf 方程 fxa只 有五个不同的实根 则实数 a的取值范围是 A 2ln e B 2ln3 e C 2ln 3 D 3 2ln 6 2015 江西省上饶市高三第三次模拟考试 12 定义 如果函数 fx在 a b 上存在1212 xaxb 满足 1 fbafx 2 bafx 则称函数 f 是 a b 上的 双中值函数 已知函数 3f 是 0 a 上的 双中值函数 则 实数 的取值范围是 A 1 32B 3 2 C 12 1 D
3、 13 1 7 2015 山西省太原市高三模拟试题二 12 8 2015 山东省潍坊市第一中学高三过程性检测 9 已知 sinco0215xfex 则函数 fx的各极大值之和为 A 2014 B 208 C 2014xe D 1 二 非选择题 60 分 9 江西省新八校 2014 2015 学年度第二次联考 16 函数 xxfsin 3 当 2 0 时 恒有 0 2 sin2 co mff 成立 则实数 m的取值范围是 10 2015 山东省滕州市第五中学高三模拟考试 15 若函数 lfxa存在与直线xy 平行的切线 则实数 a的取值范围是 11 2015 江西省上饶市高三第三次模拟考试 15
4、 设定义域为 0 的单调函数 xf 对任意 0 x 都有 6 log 2 xf 若 0是方程 4 xf的一个解 且 1 Na 则实数 a 12 2015 山东省实验中学第二次考试 11 定积分 102xed 13 2015 山东省实验中学第二次考试 13 函数 2sincof x 则不等 式 ln1fxf 的解集为 14 2015 盐城市高三年级第三次模拟考试 14 若函数 f x lnx ax 2 bx a 2b 有两 个极值点 x1 x 2 其中 a0 且 f x 2 x 2 x1 则方程 2a f x 2 bf x 1 0 的实根个数为 15 2015 徐州 连云港 宿迁三市高三第三次模
5、拟 17 本小题满分 10 分 如图 在P 地正西方向 km8的 A处和正东方向 km1的 B处各一条正北方向的公路 AC和 BD现计 划在 AC和 BD路边各修建一个物流中心 E和 F 为缓解交通压力 决定修建两条互相垂 直的公路 E和 PF设 20 1 为减少周边区域的影响 试确定 的位置 使 PAE与 FB的面积之和最小 2 为节省建设成本 试确定 FE 的位置 使 的值最小 16 江西省新八校 2014 2015 学年度第二次联考 21 本小题满分 10 分 已知函数kxef 为不零的实数 e为自然对数的底数 1 若函数 xfy 与 3的图象有公共点 且在它们的某一处有共同的切线 求
6、k的值 2 若函数 3 2xfkxh 在区间 1 k内单调递减 求此时 k的取 值范围 17 2015 徐州 连云港 宿迁三市高三第三次模拟 20 本小题满分 10 分 已知函数 31 2bxaxf 其中 a 为常数 1 当 时 若函数 f在 1 0 上的最小值为 31求 b的值 2 讨论函数 xf在区间 a上单调性 3 若曲线 y 上存在一点 P使得曲线在点 P处的切线与经过点 P的另一条切线互 相垂直 求 a的取值范围 专题 2 不等式 函数与导数 第 4 讲 导数与定积分 B 卷 答案与解析 1 答案 C 命题立意 本题主要考查定积分的运算 解析 02011 31 2xxedee 2 答
7、案 A 命题立意 本题旨在考查定积分的计算 解析 二项式展开的通项公式为 62636162 30 kk kraTCxCx 故由题意有 2615 交点坐标为 0 1 所求解的面积为 2201846SxdRah 故选 A 3 答案 A 命题立意 考查导数法求函数的单调性 考查推理能力 较难题 解析 令 xfg 则 xffg 当 0 x时 0 当 时 x 当 x时 函数 xf单调递增 函数 f是奇函数 3 3fb 又 23ln1 1sin0 1 sinlf 1sin3l i l fff 即 acb 4 答案 C 命题立意 本题主要考查积分的计算 根据积分的运算法则进行求解即可 解析 1231 sin
8、 cos xdx 23 选 C 5 答案 C 命题立意 本题主要考查函数与方程的应用 利用换元法转化为两个函数关系 利用数 形结合是解决本题的关键 解析 设 tfx 则 aft 作出函数 tfx 和 aft的图象如图 若 2a 时 ft 有一个根 t 且 0 tfx 只有一个解 则方程 fx 有 1 个根 若 时 ft有两个根 12 t 方程 1 tfx有 1 个解 2 tfx 有 1 个解 则方程 ax 有 2 个根 若 21n 时 ft有 3 个根 1230 ttt 此时每个方程 tfx 有各有 1 个解 则方程 afx 有 3 个根 若 a 时 ft有 3 个根 123 tt 此时方程
9、1 tfx 有 1 个解 2 tfx有 1 个解 x有 2 个解 则方程 afx有 4 个根 若 3n 时 aft 有 3 个根 1230 ttt 此时方程1 tfx 有 1 个解 2tx有 1 个解 fx 有 3 个解 则方程 afx 有 5 个根 若 3lna 时 aft 有 2 个根 120 tt 此时方程 1 tf有 1 个解 2 tfx 有 3 个解 则方程 afx 有 4 个根 若 lna 时 aft有 2 个根 120 3t 此时方程 1 tfx 有 1 个解 2 tfx 有 2 个解 则方程 fx有 3 个根 综上满足条件的 的取值范围是 ln 选 C 易错警示 本题在求解的过
10、程中 利用换元法转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问 题是解决本题的关键 同时 根据条件要对 a进行分类讨论 比较复杂 6 答案 B 命题立意 本题重点考查了本题主要考查了导数的几何意义 二次函数的性质与方程根 的关系 属于中档题 解析 由题意可知 在区间 0 a 存在 x1 x 2 1 x 1 x 2 a 满足 f x 1 a2 a f x x3 x2 a f x x 2 2x 方程 x2 2x a2 a 在区间 0 a 有两个解 令 g x x 2 2x a2 a 0 x a 则 解得 a 3 实数 a 的取值范围是 3 故选 B 7 答案 D 命题立意 本题考查利用导数研究抽象函数的单调
11、性 难度较大 解析 在 ln xxff 中 令 e 得 1 fe 得 0fe 且ln f 2l fx 令 ln gxfx 则 11ln1ln xxgxfxfff 当 0e 时 0g 单调递增 当 e 时 0g 单调递减 所以 max 1 所以 0fx f在 单调递减 没有最值 8 答案 A 命题立意 本题重点考查利用导数求函数的极值以及等比数列的求和公式 难度中等 解析 因为 sinco sin 2sixxxfeee 所以当 2 xk 时 0f 当 2 k 时 0f 即当 时 x取得极大值 其极大值为2 2 sin cos k kfkeke 又因为 215x 所 以函数 x的各极大值之和为 2
12、1072014352015 xeeSe 9 答案 1 命题立意 考查导数法求函数的单调性 函数的奇偶性 考查转化能力 较难题 解析 xxfsin 3 0cos13 2 xf xf是 R的减函 数且为奇函数 由 2co m 可得sin2co m 在 0 恒成立 2sin1 si 21sin1i m 在 0 恒成立 s1 u 在 单调递减 0 u 1 m 10 答案 命题立意 本题主要考查导数的几何意义 解析 11 答案 1 命题立意 本题考查函数的零点位置问题 解析 对任意的 0 x 都有 6 log 2 xf 又由 xf是定义在 0 上的单调函数 则 xf2l为定值 设 ft2log 则xtx
13、f2log 又由 6 t 可得 l2 t 可解得 4t 故 ln1 4 f 又 0 x是方程 xf的一个解 所以 0 x是函数2 2xfxF 的零点 分析易得 4l1l 02ln1 故函数 xF的零点介于 2 1 之间 故a 12 答案 e 命题立意 本题旨在考查定积分与微积分基本定理 解析 10 2x ex dx x 2 ex 10 1 2 e1 0 2 e0 e 13 答案 e e 命题立意 本题旨在考查函数的单调性与最值 解析 函数 f x xsinx cosx x 2 满足 f x xsin x cos x x 2 xsinx cosx x2 f x 故函数 f x 为偶函数 由于 f
14、 x sinx xcosx sinx 2x x 2 cosx 当 x 0 时 f x 0 故函数在 0 上是增函数 当 x 0 时 f x 0 故函数在 0 上是减函数 不等式 f lnx f 1 等价于 1 lnx 1 e x e 易错警示 判断函数为偶函数是关键 利用导数求得函数在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 将所给的不等式等价变形为 1 lnx 1 注意通过分类讨论解对数 不等式得解 14 答案 5 命题立意 本题旨在考查导数及其应用 函数的极值 方程的根 解析 由于函数 f x lnx ax 2 bx a 2b 有两个极值点 x1 x 2 那么 f x x1 2ax b ba1
15、2 x 21 0 可得 x1 x2 ab x 1x2 而关 于 f x 的方程 2a f x 2 bf x 1 0 有两个根 则 f x x 1 或 f x x 2 而 f x 2 x 2 x1 那么根据对应的图形 数形结合可得 f x x 1 有三个实根 f x x 2 有 两个实根 故方程 2a f x 2 bf x 1 0 的实根个数为 5 个 15 答案 1 当 AE 1km BF 8km 时 PAE 与 PFB 的面积之和最小 2 当 AE 为 4km 且 BF 为 2km 时 PE PF 的值最小 命题立意 本题旨在考查三角函数的应用问题 三角形的面积公式 基本不等式 导数 及其应
16、用 函数的单调性等 解析 1 在 Rt PAE 中 由题意可知 APE AP 8 则 8tanAE 所以 32tan2PAES 2 分 同理在 Rt PBF 中 FB PB 1 则 1tanBF 所以 12tanPBFS A 4 分 故 PAE 与 PFB 的面积之和为 132ttan 5 分 123tant 8 当且仅当 132tant 即 1t8 时 取 故当 AE 1km BF 8km 时 PAE 与 PFB 的面积之和最小 6 分 2 在 Rt PAE 中 由题意可知 APE 则 8cos 同理在 Rt PBF 中 FB 则 1sin 令 81 cosinfPE 02 8 分 则 33
17、222sincosiif 10 分 令 0f 得 1ta 记 01tan 0 2 当 0 时 f f单调减 当 2 时 0 单调增 所以 1tan 时 f取得最小值 12 分 此时 1t842AEP 2tanBPF 所以当 AE 为 4km 且 BF 为 2km 时 PE PF 的值最小 14 分 16 答案 1 ek3 2 1 k 命题立意 考查导数的几何意义 导数法求函数的单调性 考查转化能力 较难题 解析 1 设曲线 yfx 与 3有共同切线的公共点为 0 Pxy 则 30 xek 1 式 又曲线 yfx与 2在点 0 Py处有共同切线 且 kxf 20 30 2030kex 2 式 联
18、立 1 2 有 xkx0320 或 舍 去 则0 有 2 由 fxe得函数 3k h ke 所以 k xkxe xe kxehkk 6323232 kx kxe 23 又由区间 1 知 解得 01k 或 当 0k 时 由 hx 023 kxe 得 kx 32 即函数 hx 的单调减区间为 k 2 要使得函数 f h2 在区间 1 内单 调递减 则有 k 3120 解得 当 1k 时 由 hx 023 kxe k 得 k3 或 2xk 即函数 hx 的单调减区间为 和 要使得函数 2 fxk 在区间 1 k内单调递减 则有 k31 或 1k 这两个不等式组均无解 综上 当 1 时 函数 3 f
19、h2 kxx在区间 1 k内单调递减 17 答案 1 b 2 2 当 3a 时 f x 在区间 a 上是单调增函数 当 3a 时 f x 在区间 a 21a 上是单调减函数 在区间 21a 上是单调增函数 当 3 时 f x 在区间 a 21a 2 上是单 调增函数 在区间 21a 21 上是单调减函数 3 3 命题立意 本题旨在考查导数及其应用 导数的几何意义 两直线的位置关系 函数的 单调性与最值 考查分类讨论思维 解析 1 当 a 1 时 f x x2 2x 1 所以函数 f x 在 0 1 上单调减 2 分 由 f 1 即 1 1 b 解得 b 2 4 分 13 13 13 2 f x
20、 x2 2ax 1 的图象是开口向上的抛物线 其对称轴为 x a 因为 4a 2 4 0 f x 0 有两个不等实根 x1 2 21a 5 分 当方程 f x 0 在区间 a 上无实根时 有 0f 解得 3 6 分 当方程 f x 0 在区间 a 与 a 上各有一个实根时 有 f a 0 或 a 解得 3 8 分 当方程 f x 0 在区间 a 上有两个实根时 有 0af 解得 3a 综上 当 3 时 f x 在区间 a 上是单调增函数 当 a 时 f x 在区间 a 21a 上是单调减函数 在区间 上是单调增函数 当 3a时 f x 在区间 a 21a 21a 上是单调增函数 在区间 上是单
21、调减函数 10 分 3 设 P x1 f x 1 则 P 点处的切线斜率 m1 x12 2ax1 1 又设过 P 点的切线与曲线 y f x 相切于点 Q x2 f x 2 x 1 x2 则 Q 点处的切线方程为 y f x2 x22 2ax2 1 x x2 所以 f x1 f x2 x22 2ax2 1 x1 x2 化简 得 x1 2x2 3a 12 分 因为两条切线相互垂直 所以 x 12 2ax1 1 x22 2ax2 1 1 即 4x 22 8ax2 3a2 1 x22 2ax2 1 1 令 t x22 2ax2 1 a2 1 则关于 t 的方程 t 4t 3a2 3 1 在 t 2 0a 上有解 14 分 所以 3a2 3 4t 4 当且仅当 t 时 取 1t 12 解得 a2 故 a 的取值范围是 3 16 分 13
