1、2012-2013学年辽宁省大连市沙河口区育明中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）ABCD【考点】共线向量与共面向量版权所有【分析】根据共面向量定理，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误【解答】解：由共面向量定理，说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确故选D【点评】本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力是基础题2若pq为假命题，则p，q均为假命题，x
2、，yR，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是真命题”；直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；则其中正确的个数是（）A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用版权所有【专题】简易逻辑【分析】由复合命题的真假判断方法判断；写出命题的否命题判断，距离说明是假命题【解答】解：p，q中只要有一个假命题，就有pq为假命题，命题错误；x，yR，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是x，yR，“若xy0，则x2+y20”是真命题”；直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件为假命题，当直线与抛物线对称轴平行时，直线和抛物线也只有一个公共点真命题的个数是1个故选B【点评】本
3、题考查了命题的真假判断与应用，考查了命题的否命题，考查了抛物线的简单几何性质，是基础题3三个共面的向量、两两所成的角相等，且|=1，|=2，|=3，则|+|=（）AB6C或6D3或6【考点】向量的模版权所有【专题】计算题【分析】三个共面向量、两两所成的角相等，两个向量所成的角是120或三个向量的夹角是0，分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，得到两种不同的结果【解答】解：三个共面向量、两两所成的角相等，两个向量所成的角是120或三个向量的夹角是0当三个向量的夹角是120时，|=1，|=2，|=3，|=，当三个向量的夹角是0时， |=1+2+3=6，总上可知，向量的模长是6或，故选C【点评】本
4、题考查向量的模长，在本题所给的条件中容易漏掉一种情况，即三个向量的夹角是0度，即三个向量的方向相同时的模长4抛物线y=x2的准线方程是（）Ay=1By=2Cx=1Dx=2【考点】抛物线的简单性质版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，=1，准线方程 y=1故选：A【点评】本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置5已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果=（2，1，4），=（4，2，0）
5、，=（1，2，1）对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；其中正确的个数是（）A1B2C3D4【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直版权所有【专题】平面向量及应用【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出【解答】解：=（2，1，4），=（4，2，0），=（1，2，1）=22+4=0，正确；=4+4+0=0，正确；由可知：是平面ABCD的法向量，因此正确；=（2，3，4），假设存在使得，则，无解，不正确；综上可得：正确故选：C【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理、线面垂直的判定定理，属于基础题6平面上定点A、B距离为4，动点C
6、满足|CA|CB|=3，则|CA|的最小值是（）ABCD5【考点】双曲线的简单性质版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设A在B的左边，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，由题意可得双曲线方程为=1再设C（m，n），得|CA|2=（m+2）2+n2，化简得|CA|2=m2+4m+，最后根据m的取值范围结合二次函数的单调性，可求得|CA|的最小值【解答】解：动点C满足|CA|CB|=3，且|AB|=43点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的靠近B的一支设A在B的左边，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，可得A（2，0），B（2，0），设双曲线方程为=1（
7、a0，b0）a=，c=2，得b=，双曲线方程为=1设C（m，n），得|CA|2=（m+2）2+n2=（m+2）2+（m21）=m2+4m+C点横坐标m，当且仅当m=时，|CA|2的最小值为，得|CA|的最小值是故选：C【点评】本题给出动点C满足的轨迹方程，求点C到定点A距离的最小值，着重考查了轨迹与方程、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题7执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A3BCD2【考点】循环结构版权所有【专题】算法和程序框图【分析】i=0，满足条件i4，执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i4，退出循环体，从而得到所求【解答】解：i=0，满足条件i4
8、，执行循环体，i=1，s=满足条件i4，执行循环体，i=2，s=满足条件i4，执行循环体，i=3，s=3满足条件i4，执行循环体，i=4，s=2不满足条件i4，退出循环体，此时s=2故选：D【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题8点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，1）的距离与到直线x=1的距离和的最小值是（）ABC
9、2D【考点】抛物线的简单性质版权所有【专题】计算题【分析】由抛物线的性质，我们可得P点到直线x=1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离，根据平面上两点之间的距离线段最短，即可得到点P到点A（0，1）的距离与到直线x=1的距离和的最小值【解答】解：P点到直线x=1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离故当P点位于AF上时，点P到点A（0，1）的距离与到直线x=1的距离和最小此时|PA|+|PF|=|AF|=故选D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中根据抛物线的性质，将点P到点A（0，1）的距离与到直线x=1的距离和，转化为P点到A，F两点的距离和，是解答本题的关键9若双
10、曲线（a0，b0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）Ax2y=0B2xy=0CD【考点】双曲线的简单性质版权所有【专题】计算题【分析】由题设知，因此，所以，由此可求出其渐近线方程【解答】解：对于双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b，而，因此，因此其渐近线方程为故选C【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解10已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0，1）B（0，C（0，）D，1）【考点】椭圆的应用.所有【专题】计算题【分析】由=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆又M点
11、总在椭圆内部，cb，c2b2=a2c2由此能够推导出椭圆离心率的取值范围【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，=0，M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆又M点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即cb，c2b2=a2c2e2=，0e故选：C【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答11如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则这个二面角的度数为（）A30B60C90D120【考点】二面角的平面角及求法版权所有【专题】空间位
12、置关系与距离；空间角【分析】首先利用平行线做出二面角的平面角，进一步利用勾股定理和余弦定理解出二面角平面角的大小，最后确定结果【解答】解：在平面内做BEAC，BE=AC，连接DE，CE，所以四边形ACEB是平行四边形由于线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，所以AB平面BDECEABCE平面BDE所以CDE是直角三角形又AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则：DE=2cm进一步利用余弦定理：DE2=BE2+BD22BEBDcosDBE解得cosDBE=所以DBE=60即二面角的度数为：60故选：B【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，勾股定理的
13、应用，线面垂直的性质，二面角的应用属于基础题型12设离心率为e的双曲线C：=1，（a0，b0）的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k若直线l与双曲线左、右支都有交点，则（）Ae2k21Bk2e21Ck2e21De2k21【考点】双曲线的简单性质版权所有【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设直线方程为：y=k（xc）代入双曲线方程得：（b2a2k2）x2+2a2k2cxa2k2c2a2b2=0，方程有两根，x1x20，因a2k2c2a2b2必定小于0，故只需：b2a2k20即可，运用离心率公式由此能求出结果【解答】解：由题意可设直线方程为：y=k（xc）代入双曲线方程得：（
14、b2a2k2）x2+2a2k2cxa2k2c2a2b2=0，方程有两根，可设为x10，x20：x1x2=0，因a2k2c2a2b2必定小于0，故只需：b2a2k20即可，b2a2k2=c2a2a2k2=a2e2a2a2k2=a2（e21k2）0即有e21k20，即e2k21故选A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13从集合1，1，2，3中任意取出两个不同的数记作m，n，则方程表示焦点在x轴上的双曲线的概率是【考点】双曲线的标准方程；排列、组合及简单计数问题版权所有【专题】计算题；转化思想【分析】依
15、据焦点在x轴上的双曲线判断出m0，n0，用古典摡型概率公式即可【解答】解：焦点在x轴上的双曲线则m0，n0所以n=1，适合题意的有3种，从集合1，1，2，3中任意取出两个不同的数记作m，n，共有A42=12种取法，焦点在x轴上的双曲线的概率是：=故答案为 【点评】本题主要考查了双曲线的基本性质、排列、组合及简单计数问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于基础题14正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为【考点】直线与平面所成的角版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】BB1与平面ACD1所成角即为DD1与平面ACD1所成角，过点D作平面ACD1的
16、垂线交平面与点O，连接D1O，则DD1O即为DD1与平面ACD1所成角，利用等体积法求出DO长，在直角三角形中求出DD1O的正弦值即可【解答】解：BB1DD1，BB1与平面ACD1所成角即为DD1与平面ACD1所成角，过点D作平面ACD1的垂线交平面与点O，连接D1O，则DD1O即为DD1与平面ACD1所成角，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，VDACD1=VD1ADC，DO=111，则DO=，在RtDD1O中，sinDD1O=故答案为：【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转
17、化思想的具体体现15在RtABC中，AB=AC=2如果一个椭圆通过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在边AB上，则这个椭圆的焦距为【考点】椭圆的简单性质版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出斜边BC，再由椭圆的定义，可得AP+AC=2a，BP+BC=2a，再由周长得到a的方程，求得a，进而得到AP，再由勾股定理，求得PC，即得焦距【解答】解：在RtABC中，AB=AC=2，则BC=2，设椭圆的另一个焦点P在边AB上，则由椭圆的定义，可得，AP+AC=2a，BP+BC=2a，则4a=AC+AP+BP+BC=AC+AB+BC=4+2，即有a=1+，在直角PAC中，A
18、P=2a2=，PC=即有椭圆的焦距为故答案为：【点评】本题考查椭圆的定义和性质，考查直角三角形的勾股定理，考查运算能力，属于基础题和易错题16三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角有【专题】计算题；压轴题【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如图，设=，棱长均为1，则=，=，=，=（）（）=+=+=1+1=1|=|=cos，=异面直线AB1与BC1所成
19、角的余弦值为【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设mR在平面直角坐标系中，已知向量=（mx，y+1），向量=（x，y1），动点M（x，y）的轨迹为E（1）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（2）当m=时，轨迹E与直线y=x1交于A、B两点，求弦AB的长【考点】曲线与方程版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）直接由两向量的数量积为0列式求得轨迹E的方程，然后根据m的范围说明曲线的形状；（2）把m
20、=代入轨迹方程，联立直线方程和椭圆方程，求得两交点的坐标，由两点间的距离公式得答案【解答】解：（1）=（mx，y+1），=（x，y1），且，即mx2+y2=1当m=0时，方程表示两直线，方程为y=1；当m=1时，方程表示的是圆x2+y2=1；当m0且m1时，方程表示的是椭圆；当m0时，方程表示的是双曲线；（2）当m=时，椭圆方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得5x28x=0，解得：A（0，1），B（），则|AB|=【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了轨迹方程的求法，考查了两点间的距离公式，是中档题18如图所示，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面
21、，BC=2，M为BC的中点（1）证明：AMPM；（2）求二面角PAMD的大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质版权所有【专题】空间角【分析】（1）利用勾股定理的逆定理、线面与面面垂直的判定和性质定理即可证明；（2）利用三垂线定理或线面垂直的性质定理及二面角的定义、正切函数即可得出【解答】（1）证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，PCD为正三角形，PECD，PE=PDsinPDE=2sin60=平面PCD平面ABCD，PE平面ABCD，而AM平面ABCD，PEAM四边形ABCD是矩形，ADE，ECM，ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3
22、，EM2+AM2=AE2AMEM又PEEM=E，AM平面PEM，AMPM（2）解：由（1）可知：EMAM，PMAM，PME是二面角PAMD的平面角在RtPEM中，tanPME=1，PME=45二面角PAMD的大小为45【点评】熟练掌握线面与面面垂直的判定和性质定理、三垂线定理、二面角的定义、正切函数及勾股定理的逆定理是解题的关键19设有44正方形网格，其各个最小的正方形的边长为4cm，现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上；假设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点求：（1）硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；（2）硬币落下后与网格线没有公共点的概率【考点】等可能事件的概率版权所
23、有【专题】计算题【分析】（1）由题意知本题是一个几何概型，概率等于面积之比，根据题意算出试验包含的总面积和符合条件的面积，两者求比值，得到要求的概率（2）每个小正方形内与网格线没有公共点的部分是正中心的边长为2的正方形的内部，一共有16个小正方形，根据上一问得到试验发生的所有事件对应的面积，求比值得到结果【解答】解：考虑圆心的运动情况（1）因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点，所以圆心的最大限度为原正方形向外再扩张1个小圆半径的区域，且四角为四分之圆弧；此时总面积为：1616+4161+12=320+；完全落在最大的正方形内时，圆心的位置在14为边长的正方形内，其面积为：1
24、414=196；硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为：；（2）每个小正方形内与网格线没有公共点的部分是正中心的边长为2的正方形的内部，一共有16个小正方形，总面积有1622=64；硬币落下后与网格线没有公共点的概率为即硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为；硬币落下后与网格线没有公共点的概率为【点评】本题考查几何概型和求面积的方法，几何概型和古典概型是高中必修中学习的高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目20已知直线l：y=kx2与抛物线 C：x2=2py（p0）交于A、B两点，O为坐标原点 +=（4，12）（1）求直线l和抛物线C的方程；（2）抛物线上一动点P从A到B运动
25、时，求点P到直线l的最大值，并求此时点P的坐标【考点】抛物线的简单性质版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由得，x2+2pkx4p=0，可得根与系数的关系、再利用向量坐标运算即可得出；（2）设与直线AB平行且与抛物线相切于点P（x0，y0），由x2=2y可得y=x，利用x0=2，可得P（2，2）再利用点到直线的距离公式即可得出点P到直线AB的最大距离【解答】解：（1）由得，x2+2pkx4p=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=2pk，y1+y2=k（x1+x2）4=2pk24，=（x1+x2，y1+y2）=（2pk，2pk24）=（4，12），解得直线l
26、的方程为y=2x2，抛物线C的方程为x2=2y（2）设与直线AB平行且与抛物线相切于点P（x0，y0），由x2=2y可得y=x，x0=2，解得x0=2，（2）2=2y0解得y0=2，P（2，2）点P到直线AB的最大距离d=【点评】本题考查了直线与抛物线相交于相切的位置公式、导数的几何意义、一元二次方程的根与系数的关系、向量的坐标运算、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点（1）求证：AF平面BCE；（2）求证：平面BCE平面CDE；（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值【考
27、点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角版权所有【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】（1）取CE的中点G，由三角形的中位线性质证明四边形GFAB为平行四边形，得到AFBG，从而证明AF平面BCE（2）通过证明AFCD，DEAF，从而证明AF平面CDE，再利用BGAF证明BG平面CDE，进而证明平面BCE平面CDE（3）在平面CDE内，过F作FHCE于H，由平面BCE平面CDE，得 FH平面BCE，故FBH为BF和平面BCE所成的角，解RtFHB求出FBH的正弦值【解答】（1）证明：取CE的中点G，连FG、BGF为CD的中点，GFDE且AB平面ACD，DE平面AC
28、D，ABDE，GFAB又，GF=AB四边形GFAB为平行四边形，则AFBGAF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE（2）证明：ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCDDE平面ACD，AF平面ACD，DEAF又CDDE=D，故AF平面CDEBGAF，BG平面CDEBG平面BCE，平面BCE平面CDE（3）解：在平面CDE内，过F作FHCE于H，连BH平面BCE平面CDE，FH平面BCEFBH为BF和平面BCE所成的角设AD=DE=2AB=2a，则，RtFHB中，直线BF和平面BCE所成角的正弦值为【点评】本题考查证明线面平行的方法，2个平面垂直的方法，求直线与平面成的角的方法，属于中档
29、题22已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且（1）求椭圆C1的方程；（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用抛物线的标准方程即可得出焦点坐标，再利用抛物线的定义和点M在抛物线上即可得到点M的坐标；利用点M在椭圆C1上满足椭圆的方程和c2=a2b2即可得到椭圆的方程；（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），其中
30、x1x2，由点F满足，及，故四边形AEBF的面积S=SBEF+SAEF=，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）由抛物线C1：x2=4y的焦点，得焦点F1（0，1）设M（x0，y0）（x00），由点M在抛物线上，解得，而点M在椭圆C1上，化为，联立，解得，故椭圆的方程为（2）由（1）可知：|AO|=，|BO|=2设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1x2，把y=kx代入，可得，x20，y2=y10，且，故四边形AEBF的面积S=SBEF+SAEF=当且仅当时上式取等号四边形AEBF面积的最大值为【点评】本题综合考查了椭圆抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、四边形的面积转化为三角形的面积计算、基本不等式的性质等基础知识与方法需要较强的推理能力和计算能力
