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高中数学常用解题方法之定义法.doc

上传人:HR专家 文档编号:11355873 上传时间:2020-04-03 格式:DOC 页数:6 大小:408.50KB
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资源描述

1、高中数学常用解题方法之定义法定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法,本讲让我们回到定义中去。 所谓定义法,就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。一奇(偶)函数的定义 一般地,对函数f(x),如果对于定义域内每一个x,都有,那么函数f(x)就叫做奇函数;如果都有,那么函数f(x)叫做偶函数奇偶函数的定义域关于原点对称例1.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数

2、和奇函数,则下列结论恒成立的是() (A)f(x)+|g(x)|是偶函数 (B)f(x)-|g(x)|是奇函数 (C)|f(x)|+g(x)是偶函数 (D)|f(x)|-g(x)是奇函数解析:选A.g(x)是R上的奇函数,|g(x)|是R上的偶函数,从而f(x)+|g(x)|是偶函数。例2判断下列函数的奇偶性(1)f(x); (2)f(x)(x1); (3)f(x).解析(1)由得x3.f(x)的定义域为3,3 又f(3)f(3)0,f(3)f(3)0,即f(x)f(x) f(x)既是奇函数,又是偶函数 (2)由得1x1. f(x)的定义域(1,1不关于原点对称 f(x)既不是奇函数,也不是偶

3、函数 (3)由得2x2且x0. f(x)的定义域为2,0)(0,2,关于原点对称 f(x). f(x)f(x),f(x)是奇函数注:先求定义域,看定义域是否关于原点对称,在定义域下,解析式带绝对值号的先尽量去掉,再判断f(-x)与f(x)的关系,分段函数应分情况判断.例3若f(x)a是奇函数,则a_.解析f(x)为奇函数,f(x)f(x)即aa. aa. 2a,a.例4.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=() (A)-3(B)-1(C)1(D)3解:选A.因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+20+b=0,解得b=-

4、1,所以当x0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+21-1)=-3。二周期性函数的定义 一般地,对函数f(x),存在非零正常数T,如果对于定义域内每一个x,都有,那么函数f(x)就叫周期函数,T叫函数f(x)的周期特别地,对于kZ且k0,kT也是函数f(x)的周期例1设偶函数f(x)对任意xR,都有f(x3),且当x3,2时,f(x)2x,则f(113.5)的值是() A B. C D. 解析:选Df(x)f(x),f(x6)f(x33)f(x),f(x)的周期为6.f(113.5)f(1960.5)f(0.5)f(0.5)f(2.53),.例2.已知定义在R上

5、的函数f(x)是偶函数,对xR都有f(2+x)=f(2-x),当f(-3)=-2时,f(2 007)的值为() (A)2 (B)-2(C)4(D)-4 解析:选B.函数f(x)是R上的偶函数,f(2+x)=f(2-x)=f(x-2), f(x+4)=f(x), 故函数f(x)是以4为周期的偶函数, f(2 007)=f(3)=f(-3)=-2.例3定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x1)f(x),且在1,0上是增函数,给出下列关于f(x)的判断: f(x)是周期函数;f(x)的图象关于直线x2对称;f(x)在0,1上是增函数;f(x)在1,2上是减函数;f(4)f(0) 其中判断正确的序号是

6、_ 解析f(x1)f(x)f(x2)f(x),故f(x)是周期函数又f(x)f(x),所以f(x2)f(x),故f(x)关于直线x1对称,由此可得正确【答案】三、增函数和减函数的定义: 一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,当 ,都有那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,当 ,都有那么就说函数f(x)在区间D上是减函数. 例1.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x0,则函数f(x)在a,b上有() (A)最小值f(a) (B)最大值f(b) (C)最小值f(b)

7、 (D)最大值f() 解析:选C.设x1x2,由已知得f(x1)=f(x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2). 又x1-x20,f(x1)f(x2),即f(x)在R上为减函数. f(x)在a,b上亦为减函数.f(x)min=f(b),f(x)max=f(a),故选C. 例2.已知f(x)=(xa),试证f(x)在(-,-2)上单调递增. 解析:任设x1x20,x1-x20, f(x1)f(a),则实数a的取值范围是图1 (A)(-,-1)(2,+) (B)(-1,2) (C)(-2,1) (D)(-,-2)(1,+)解析:选C.f(x)= 由f(x)的图1可知f(x)在(-,+)上

8、是单调增函数,由f(2-a2)f(a)得2-a2a,即 a2+a-20,解得-2aBf(a2a1)6|CP|,所以动点M的轨迹是椭圆.五、空间中线线角、线面角、面面角的定义;空间向量中法向量的定义例1.已知异面直线a,b所成角为60,P为空间任意一点,过P点作直线使与a,b 都成60角,则这样的直线有_条. 解析:由于与a,b所成角都是60,而6030,且120角的一半也为60,故这样的直线有3条.答案:3例2.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD平面CBD,则异面直线AD,BC所成的角为( ) (A)120(B)30(C)90(D)60图3解析:选D.建立如图所示的空间

9、直角坐标系,则A(,0,0),B(0,0), C(0,0,),D(0,-,0), =(-,-,0),=(0,-,), |=2,| |=2, =2, . 异面直线AD,BC所成的角为60.例3.如图4,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是C1D1,CC1的中点,则直线B1N与 平面BDM所成角的正弦值为_图4解析:以D为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B1(2,2,2),N(0,2,1),(2,0,1),又M(0,1,2),D(0,0,0),B(2,2,0),则(2,2,0),(0,1,2),可得平面BDM的一个法向量n(2,2,1),因

10、为,故直线B1N与平面BDM所成角的正弦值是.图5例4.如图5,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,又AA1平面ABC,D,E分别是AC,CC1 的中点.(1)求证:AE平面A1BD.(2)求二面角D-BA1-A的余弦值. 思路点拨:由AA1平面ABC可知,平面ABC平面ACC1A1,故可考虑建立空间直角坐标系解决问题.【解析】(1)以D为原点,DA所在直线为x轴,过D作AC的垂线为y轴,DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0),A1(1,-2,0),C1(-1,-2,0),B(0,0,),B1(0,-2,),(-2,-1,0),(-1,2,0),(0,0,-).2-2+00,AEA1D,0,AEBD. 又A1D与BD相交于D,AE平面A1BD.(2)设平面DA1B的一个法向量为n1(x1,y1,z1), 由取n1=(2,1,0).设平面AA1B的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 易得=(-1,2,), =(0,2,0),则由取n2(3,0,).cosn1, n2=.故二面角D-BA1-A的余弦值为

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