1、冲激信号 (t)的三种定义与相关性质的简单讨论 信息院 1132 班 樊列龙 学号：0909113224- 1 -冲激信号 (t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院 1132 班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： 持续时间短. 取值极大. 冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用 (t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作 函数或狄拉克（Dirac）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如
2、下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图 1-1(a)的矩形脉冲，宽为 ，高为 ，其面积为 A.当 A=1 称之为单位冲激信 1号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小 ，则脉冲的幅度逐渐增大，当 时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：0（1-1）21lim)(0ttt冲击信号的波形就如 1-1(b)所示.(t)只表示在 t=0 点有“冲激” ，在 t=0 点以外的各处函数值均为 0，其冲激强度（冲激面积）为 1，若为 A 则表示一个冲击冲激信号 (t)的三种定义与相关性质的简单讨论 信息院 1132 班 樊列龙 学号：0909113224- 2 -图 1-2强度为 E 倍单位值得函数 ，描
3、述为 A=E(t) ，图形表示时，在箭头旁边注上 E。(a) 逐渐减小的脉冲函数 (b)冲激信号 图 1-1 也可以用抽样函数的极限来定义 (t)。有（1-2）)(lim)(ktSatk对式（1-2 ）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为（1-3）tasin)(S其波形如图 1-2 所示，Sa(t) 1/t,1/t 随 t 的增大而减小，sint 是周期振荡的，因而 Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当 t= ,2 ,，sint=0，从而 Sa(t)=0，是其点 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣” ，其余的衰减部分称为“旁瓣” 。 时， ，并且有：0t1)(Sta冲
4、激信号 (t)的三种定义与相关性质的简单讨论 信息院 1132 班 樊列龙 学号：0909113224- 3 -图 1-302)(dtSa因其是偶函数有（1-4）t)(由式（1-4）知（1-5） 1)(dtkSat式（1-5）表明， 曲线下的面积为 1，且 k 越大，函数的振幅越大，振荡频率越高，离开原点时，振幅衰减越快，当 k 时，即得到冲激函数，波形表示如图 1-3. 实际上，脉冲函数的选取并不限于矩形脉冲与抽样函数，其他如三角形脉冲、双边指数脉冲等地极限，也可以变为冲激函数，作为冲激函数的定义。相应可以表示为：三角形脉冲：（1- ttt|1lim)(06）双边指数脉冲：（1-|021li
5、)(tet7）钟形脉冲：冲激信号 (t)的三种定义与相关性质的简单讨论 信息院 1132 班 樊列龙 学号：0909113224- 4 -（1-8）201lim)(tet这些脉冲波变为相应的冲激函数，如图 1-4(a)、(b)、(c). （a）三角脉冲 （b）指数脉冲 （c）钟形脉冲图 1-4定义二：狄拉克(Dirac)定义.狄拉克给出冲激函数的定义式为（2-1）00(t)dt1t- t 这一定义与上述的脉冲极限的定义式一致的，因此把 函数称为狄拉克函数。现给出 函数三个有用的特性：性质一：展缩特性.冲击函数是一个高而窄的峰，时间缩放会改变其面积。由于 (t) 的面积为 1，时间压缩的冲激信号
6、 (at)的面积为 ，由于冲激信号 (at)仍在 t=0 处发生，所以它可以被看做一|a1冲激信号 (t)的三种定义与相关性质的简单讨论 信息院 1132 班 樊列龙 学号：0909113224- 5 -个未压缩的冲激 ，即有 。)(|1at)(|1)(att由于时间位移不会影响面积的大小，所以有（2-)(|1)(00tat2）式（2-2）可以用定积分中的变量代换法加以证明。特别的当时，式（2-2）变为0,1ta(2-3)(t从式（2-3）可以看出，(t)是一个偶信号。性质二：抽样特性（筛选性）. 用冲激函数 乘以任意连)(0t续信号 ，就可以得到一个冲激函数，它的强度等于 在 处)(tf f
7、0t的值。即筛选出了 。从而有)(0tf（2- - - )0()0()(fdtfdtftd4）类似有（2- - 0-000-0 )()()()( tfdttfdtftdtft 5）式（2-4）和式（2-5）表明：当连续时间函数 与单位冲激)(tf信号 或 相乘，并在 时间内积分，可以得到 在)(t)0t, )(tf处的函数值。0t性质三：位移特性. 性质一和性质二表明乘积的面积等于 ，也就是说 移除了)()(000ttftf )(0tf )(0t冲激信号 (t)的三种定义与相关性质的简单讨论 信息院 1132 班 樊列龙 学号：0909113224- 6 -在 处的值。)(tf0t（2-)()
8、(0-0tfdtf6）值得指出的是，冲激信号与阶跃信号的关系：（2-)(-tudt7）（2-dt)(8）的狄拉克定义也可以表示为)(t（2-6）1(t)d0t0上式与式（2-1）一样都表示， 处，是一个间断点，但作为0t数学抽象式，式（2-1）中采用 的约束条件，已经概括了1()d间断点 得邻域内的积分 ，反映出 时 的趋0t 0-t 0t)(t势，因此采用（2-1）的描述更合适。另一方面，狄拉克- 函数的定义在数学上也是不严格的。如函数 也满足式（2-1）)(t其中: 为冲激偶信号，但 并不是单位冲激信号。)()( tdt)(t冲激信号 (t)的三种定义与相关性质的简单讨论 信息院 1132
9、 班 樊列龙 学号：0909113224- 7 -为了给出奇异函数 的严格定义，我们先引入分配函数的概念。)(t概念引出（1950 年，L. Schwartz）电压 v(t) 表示方法：分析说明： 读数并不是直接待测物理量本身，而是待测函数 v(t)与测试仪表特性 h(t)二者综合结果 电压 v(t)的存在和性质借助 h(t)来体现（测量系统是检测电压 v(t)特性的手段） ，故称 h(t)为检试函数。下面给出分配函数定义：冲激信号 (t)的三种定义与相关性质的简单讨论 信息院 1132 班 樊列龙 学号：0909113224- 8 -定义三：用分配函数定义 .)(t指定给 的值为 .)(t)
10、(t)0(通过上面所给出的几种定义和性质，我们可以总结推导关于的一些基本运算特性。)(t（1） 相加:(3-1)（2） 相乘:(3-2)（3）反褶:（3-3）证明参见性质一.（4）尺度:（3-4）冲激信号 (t)的三种定义与相关性质的简单讨论 信息院 1132 班 樊列龙 学号：0909113224- 9 -（5）时移:（3-5）证明参见性质二.（6）卷积:仅对 i)进行如下证明：（7）复合函数：（3-6）冲激信号 (t)的三种定义与相关性质的简单讨论 信息院 1132 班 樊列龙 学号：0909113224- 10 -（3-7）证明：用泰勒级数展开， ，忽略高次项。0)(itf复合函数形式的 可化简为位于 处的一系列冲激函)(tfit数的叠加，强度为 。|)(|1itf参考文献：1 樊尚春，周浩敏.2011.信号与测试技术.2 版.北京：北京航空航天大学出版社.2 邹云屏，林桦，邹旭东.2009.信号与系统分析.2 版.北京：科学出版社.3 彭军，李宏.2009.信号与信息处理基础.北京：中国铁道出版社.
