1、二 次 根 式 复习课【知识点汇总】知识点一： 二次根式的概念形如 （ ）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时， 没有意义。知识点三：二次根式 （ ）的非负性（ ）表示 a 的算术平方根，也就是说， （
2、）是一个非负数，即0（ ）。注：因为二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则 a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。知识点四：二次根式（ ） 的性质（ ）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式 （ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若 ，则 ，如： ， .知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个
3、数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，即 ；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即；2、 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义；3、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六： 与 的异同点1、不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中 a可以是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即 ，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而2、相同点：当被开方
4、数都是非负数，即 时， = ； 时， 无意义，而 .【历年考点例析】考点 1、无理数知识回顾：无限不循环的小数，叫做无理数。知识特点：常见的无理数：1、 以及 的有理数倍数。2、 、 、 ；353、201001000100001考查题型例 1、写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于1 的数 。 （08 年自贡市）分析：-1 的绝对值是 1，所以，小于1 的数的绝对值一定要大于 1，只要符合这一点，就可以了，所以，本题的答案不是唯一的。解：小于1 的有理数-4、-5 等等，小于1 的无理数- 、- 、- 等等。235例 2、从实数 ， ，0，4 中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ）23A.
5、 ，0 B. ，4 C. ，4 D. ，（08 年湖北省宜昌市）322分析：根据常见的无理数，可以发现只有- 和 是无理数，因此，选项 D 是正确的。解：选 D。例 3、如图 1 所示，A，B，C，D 四张卡片上分别写有 四个实数，从中任取5237， ， ，两张卡片A B C D（图 1）（1）请列举出所有可能的结果（用字母 A，B，C，D 表示） ；（2）求取到的两个数都是无理数的概率 （08 嘉兴市） 、分析：用列表的方式，把所有的结果找出来，后根据无理数的定义，作出判断。解：（1）仔细观察上面的四个数，不难发现 B、D 是无理数，A 和 C 是有理数，结果列表如下：2 仔细观察上表，一共
6、有 12 种 可能性，期中都是无理数的可能性有 2 种，因此，两个数都是无理数的概 率为：。612考点 2、平方根知识回顾：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根。记作 。读作“正负根号 a”a知识特点：1、 被开方数 a，满足的关系式是：a0；2、平方根 x 与被开方数 a，满足的关系式是：x= ；a3、被开方数 a 与平方根 x，满足的关系式是：a= x 2= （ ） 2= 2= （- ） 2；a4、两个平方根之间满足的关系式是： +（- ）=0，即两个平方根互为相反数，所以，他们的和为 0.如下说法都是正确的： a的平方根是 ；a 是a的
7、平方根；- 是a的平方根； 是a的平方根；其中a是非负数。此外，0的平方根是0这个特例要记清楚。考查题型例 4、2 的平方根是（ ）A4 B C D （08 年南京市）22分析：根据平方根的特点，正数有两个平方根，且常用“”来体现“两个” 。解：选 D。例 5、9 的算术平方根是A. 3 B. 3 C. 3 D. （08 恩施自治州）3分析：算术平方根是平方根中的正数根，只有一个，所以，选项 A、C 都是不正确的；因为，3 2=9，所以，9 的算数平方根是 3。解：选 B.例 6、化简： =（ ） 4A2 B2 C4 D4（08 年甘肃省白银市）分析：理解 的意义是解题的关键。 的意义实际上就
8、是求正数 4 的算术平方根，所4以，应该只有一个，为正数，并且这个数的平方应该等于 4，这样只有选项 A 符合要求。解：选 A。化简 =_。(08 年安徽省)24分析：因为， （-4） 2=16， 的意义是求正数 16 的算数平方根，因为，2442=16，所以， =4.考点 3、二次根式知识回顾：形如 （a0）的式子，叫做二次根式。a知识特点：1、被开放数 a 是一个非负数；2、二次根式 是一个非负数，即 0；aa3、有限个二次根式的和等于 0，则每个二次根式的被开方数必须是 0.考查题型例 7、若式子 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是5xA.x-5 B.x-5 C.x-5 D.x-5
9、 (08 常州市)分析：在这里二次根式的被开方数是 x+5，要想使式子 在实数范围内有意义,5必须满足条件：x+50，所以，x-5，因此，选项 D 是正确的。解：选 D。例 8、若 ，则 （08 年遵义市）230ab2ab分析：因为，|a-2|和 都是非负数，并且它们的和是 0，所以，|a-2|=0 且 =0，所以，a=2，b=3，3b所以，a 2-b=4-3=1.例 9、若实数 满足 ，则 xy 的值是 (08 年宁波市)xy， 2(3)0y分析：因为， 和 都是非负数，并且它们的和是 0，22)3(所以， =0 且 =0，所以，x=-2，y= ，xy3所以，xy=-2 .考点 4、二次根式
10、的化简与计算知识回顾：二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后，通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。知识特点：二次根式的加减运算：a +b =（a+b） ， （m0） ；mm二次根式的乘法运算： . = ，( a0, b0)；ab二次根式的除法运算： = ，( a0, b0)；a二次根式的乘方运算： =a，( a0)；2)a二次根式的开方运算： =2a0,，考查题型例 10、下列计算正确的是（ ）A B23465842C D （08 年聊城市）7(3)分析：这就是二次根式化简的综合题目，2 与 4 的被开方数不相同，所以，它们不是同类二次根式，所以，不能进行合并
11、计算，所以，A 是错误的；因为， ，所以，B 也是错误的；2248因为， = ，所以，C 是正确的；7339根据二次根式的开方公式，得到 D 是错误的。解：选 C。例 11、若 baybax,，则 xy 的值为 ( )A 2 B C D ba（08 年大连市）分析：xy=（ ） （ ）= - =a-b，所以，D 是正确的。2)(解：选 D。考点 5、最简二次根式知识回顾：满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。知识特点：1、最简二次根式中一定不含有分母；2、对于数或者代数式，它们不能在写成 anm 的形式
12、。考查题型例 12、下列根式中属最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. （08 年湖北省荆州市）21a12827分析：因为 B 中含有分母，所以 B 不是最简二次根式；而 8=222，27=3 23，所以，选项 C、D 都不是最简二次根式。所以，只有选项 A 是正确的。解：选 A。考点 6、估算例 13、估计 1320的运算结果应在（ ） （0 8 年 芜 湖 市 ）分析： 52401623因为，459，所以， ，所以，2 3,954所以，42 6,所以，4+42 +46+4,所以，82 +410,也就是在 8 到 9 之间.5解:选择 C.【考试题型归纳】一. 基本概念型例 1.二次根
13、式 中，字母的取值范围是（ ）a1A. B. C. D. a1a1析解：形如 的式子叫二次根式，其中被开方数 a 的取值范围是 。则()0 a0二次根式 中， ，即 ，故选 C。说明：注意二次根式中被开方数是非负数这个隐含条件是解题关键。例 2.在下列根式 中，最简二次根式有（ ）45283、 、 、abxA. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个析解：最简二次根式的概念是（1）被开方式的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。而 。所以最简二次823ax、根式有 两个，故选 C。5、 b例 3.下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）3A. B. C.
14、 D. 24123218析解：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。而 ，所以与 是46632、 、 、 3同类二次根式的是 ，故选 B。12二. 性质运用型例 4.已知 ，则化简 的结果是（ ）x2x24A. B. C. D. x22x析解： ，因为 ， ，所以224()|x0。故选 Dxx2例 5.化简 得（ ） 。1322x()A. 2 B. C. D. 4 4x析解：因为 ， ，30xx232,()所以 111x， |故 。故选 A。4222x x()()说明：以上二例主要应用二次根式的性质：（1） 。 （2）aa20|()。正确应用二次根
15、式的性质是解决本题的关键。()()a20三. 结论开放型例 6.先将 化简，然后自选一个合适的 x 值，代入化简后的式子xx232求值。析解：这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间。但要注意 x 的取值范围是 。x2原式 xxx122xx22取 ，原式 。,4四. 大小比较型例 7. 用计算器计算 ， ，根据你发现的规律，2132,41522,判断 ，与 ， （n 为大于 1 的整数）的值的大小关系为（ Pn21Q()）A. B. C. D. 与 n 的取值有关PPQ析解：利用计算器计算得： ，从而可以推断213415222，故选 C。PnQn211()例 8. 设 ，则 a，b，
16、c 的大小关系是（ ）abc32352,A. B. C. D. bcabca析解： ，同理 。1 3()()12352,因为 ，所以 。故选 A。5232010cbacba,五. 判断正误型例 9. 化简 时，甲的解法是：352， ，乙的解法是：35252()52，以下判断正确的是（ ）A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确析解：甲是将分子和分母同乘以 进行分母有理化，乙是利用52进行约分，所以二人都是正确的，故选 C。352()()例 10. 对于题目“化简并求值： ，其中 ”，甲、乙两人的解122aa15答不同
17、。甲的解答是： ；1 492 2aa()乙的解答是： 。1152 2a谁的解答是错误的？为什么？析解：乙的解答是错误的。因为当 时， ，所以 ，而应当是a1510a,()aa12。()2六. 规律探索型例 11. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题。；(),121S；,32；(),1423S （1）请用含有 n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律。（2）推算出 的长。OA10（3）求出 的值。SS1232102析解：（1）通过类比，可推知 (),nSn12（2） 。OAOAA1230,，（3） SS2310()()()214542七. 计算说理型例 12. 有这样一道题，计算： 的值，
18、其中xxx22244()，某同学把“ ”错抄成“ ”，但他的计算结果是正确的。请回x105x105105答这是怎么回事？试说明理由。析解：这是一道说理型试题，既然 x 的值取错，计算结果仍是正确。那么可以猜测此二次根式化简后与 x 的值无关。这时应从二次根式的化简入手，揭开它神秘的面纱。原式 ()()xxx2 2244xx222222448八. 数形结合型例 13. 如图 1，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边数有（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个图 1析解：由题意知 ， 。BC231ACAB34512622,所以边长
19、为无理数的边数是 2 个，故选 C。例 14. “数轴上的点并不都表示有理数，如图 2 中数轴上的点 P 所表示的数是 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）图 2A. 代入法 B. 换元法 C. 数形结合 D. 分类讨论析解：本题“形” “数”结合，所反映的正是数学中的一种思想方法“数形结合”故选 C。九. 阅读理解型例 15. 我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术” ，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为：（其中 a、b、c 为三角形的三边长，s 为面积）sabc1422()。而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：（其中 ）spabpc
20、()()pabc2（1）若已知三角形的三边长分别为 5、7、8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积 s；（2）你能否由公式推导出公式？请试试。析解：（1） s1457822()2578103()又 ，p257()s10(10853210)（2） 422abc122()()abc6222ca16222()()()()()()babcpapc1422()()bapbc【解题策略】一、二次根式的定义例 1 函数 的自变量 x 的取值范围是（ ）yx21AxBCDx1212解题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数。答案为 A。例 2 函数 的自变量 x 的取值范围是（ ）yx253CD
21、. .53且 且解题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，还应特别注意分式的分母不能为零。答案为：C。二、二次根式的性质例 3 若 ，则 xy 的值等于（ ）yxy2410A. -6 B. -2 C. 2 D. 6解题策略：紧扣二次根式 是一个非负数的性质，可以得到：a()，故 。答案为：A()xy0122，例 4 如果 ，那么 x 的取值范围是（ ）()xABcD2 2解题策略：运用二次根式 是一个非负数的性质知， 。答案为a()0x0C。例 5 若 b0，化简 的结果是（ ）b3baCbaba解题策略：紧紧抓住二次根式被开方数必须是非负数，由二次根式的性质abba2320|()知
22、答案为：C三、最简二次根式例 6 把二次根式 化成最简二次根式为_。xy()0例 7 下列各式中属于最简二次根式的是（ ）ABCD22511205解题策略：最简二次根式必须满足下列两个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。例 6 的答案为： ，例 7 的答案为：A。xy四、同类二次根式例 8 在下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）2ABCD10127例 9 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）BCaba. .33122和 和和 和解题策略：紧扣定义：化成最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。例 8 的答案为 A
23、，例 9 的答案为 B。五、二次根式的化简运算例 10 2322()2331242()()()以上推导中错误在第（ ）步A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)解题策略：紧扣二次根式的性质 是一个非负数，第（2）步 是一个a()023负数， 是一个正数，答案为 B。()23例 11 计算 18310()解题策略：二次根式的有关概念是二次根式化简与运算的基础，二次根式的性质是二次根式化简与运算的根据。 互为有理化因式， ，答案为：2与 82。2六、二次根式的条件求值例 12 已知 ，则 的值为（ ）ab1515， ab27A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解题策略：分母有理化是在进行二次根式的化简与运算时常用的方法。简解： a2b15原 式 ()ab2725答案为 C例 13 先化简，再求值：()()22其中 a=3，b=4解题策略：合并同类二次根式是在进行二次根式的化简与运算时常用的方法。当 a=3，b=4 时，原 式 ()()ababa22483七、二次根式的应用例 14 如图，数轴上表示 1、 的对应点分别为 A、B，点 B 关于点 A 的对称点为C，设点 C 所表示的数为 x，求 的值。 C A B 0 x 1 2 解题策略：看懂题意、图意，抓住“点 B 关于点 A 的对称点为 C”解题ABCx21124()
