1、1 / 8用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲” 解法: “作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题1 求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角（）求异面直线所成的角设 、 分别为异面直线 a、b 的方向向量,ab则两异面直线所成的角 =rcos|A（）求线面角设 是斜线 l 的l 方向向量， 是平面 的n法向量，则斜线 l 与平 面 所成的角 =arcsin|lA（）求二面角 法一、
2、在 内 ，在 内 ，其方向如图，则二面albl角 的平面角 =lrcos|aA法二、设 是二面角 的12,nl2 / 8两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角 的平面角 =l12arcos|nA2 求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求（）求点面距离法一、设 是平面 的法向量，在 内取一点 B, 则 nA 到 的距离|cosABnd法二、设 于 O,利用 和点 O 在 内 的向AOA量表示，可确定点 O 的位置，从而求出 |A（）求异面直线的距离法一、找平面 使 且 ，则
3、异面直线 a、b 的ba距离就转化为直线 a 到平面 的距离，又转化为点 A 到平面 的距离法二、在 a 上取一点 A, 在 b 上取一点 B, 设 、 分别ab为异面直线 a、b 的方向向量 ,求 （ ， ） ，nn3 / 8则异面直线 a、b 的距离 （此方法移植于点面距离的求法）|cosABnd例如图，在棱长为的正方体 中，1ABCDE、F 分别是棱 的中点 1,AD（）求异面直线 所成的角；EF与（II ）求 和面 EFBD 所成的角；1BC（III）求 到面 EFBD 的距离解：（）记异面直线 所成的角为 ，1DEFC与 则 等于向量 的夹角或其补角，1与（II ）如 图建立空间坐标
4、系 ，Dxyz则 ，(1,02)DE(,20)B设面 的法向量为 由F,1nxy0DEnB得 又 (2,1)n1(2,0)C记 和面 EFBD 所成的角为1BC1|1 1cos()()| |22|,arcos55DEFCBAA4 / 8则 112sin|co,|BCn 和面 EFBD 所成的角为 1BC4（III）点 到面 EFBD 的距离等于1向量 在面 EFBD 的法向量上的投影的绝对值，1|BndA3设计说明：作为本专题的例，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一
5、下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求） 完成这道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况） ，都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧例 2如图，三棱柱中，已知 A BCD 是边长为 1 的正方形，四边形是矩形，BA 。平 面平 面 BCD（）若 ，求直线 AB 到面 的距离（II ） 试问：当 的长度为多少时，二面角A的大小为 CD？605 / 8解：（）如图建立空间坐标系 ，Axyz则 (1,)DAa(0,1)C设面 的法向量为 则 1,nxy10DnC得 1(,0)na直线 AB
6、到面 的距离就等于点到面 的距离，DACA也等于向量 在面 的法向量上的投影的绝对值，1|2nd（II ）易得面 的法向量AC21(,0)n向量 的夹角为12,n60由 得 121221cos,|a 1a当 时，二面角 的大小为 A ACD60设计说明：通过（） ，复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法通过（II） ，复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况例正三棱柱 的所有棱长均为，是侧棱 上任意一点1ABC 1A6 / 8（）求证： 直线 不可能与平面 垂直；1BP1AC（II ）当
7、 时，求二面角 的大1C1BP小 证明：（）如图建立空间坐标系 ，设OxyzAPa则 的坐标分别为1,ACBP(0,1)(,3,02)(,1(02),(3,2a， 不垂直11AC直线 不可能与平面 垂直BP1（II ） ，由 ，得1(3,2)C1BP10BA即 2)0aa又 1B11C面是面 的法向量(3,2)CBP设面 的法向量为 ，由1P(1,)nyz10BPnC得 ,设二面角 的大小为(,32)n 1则 16cos4|BCnA7 / 8二面角 的大小为 1CBP6arcos4设计说明：前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题、轴需要自己添加（也可不这样建立） 第（）小题是证明题，同样可
8、用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直线与这个面的法向量不平行通过上面的例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式： ）解决空间角和距离的作用，当然，以上所举例子，用传统方法去|cosabA做，也是可行的，甚至有的（例）还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和随机性向量法可操作性强运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难点，是解决立体几何问题的重要工具充分体现出新教材新思想、新方法的优越性这是继解析几何后用又一次用代数的方法研究几何形体的一块好内容，数形结合，在这里得到淋漓尽致地体现练习：在正四面体 中，棱长为 ，E,分别为
9、 SA 和 BC 的中点，求异SABCa面直线 BE 和 SF 所成的角 （ ）2arcos3在边长为的菱形 ABCD 中， ，将菱形沿对角线 AC 折起，60ABC使 折起后 BD，求二面角 的余弦值 （ ）D13在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面，PABCP且，问平面 与平面 能否垂直？试说明理PDAa DACBP8 / 8由 （不垂直）在直三棱柱 中， ，1ABC90A1,OG分别为 的中点，且 1, 2BC（） 求 到面 的距离；（ ）1O1（） 求 到面 的距离 （ ）BC1G263.如图，在几何体 ABCDE 中， ABC 是等腰直角三角形， ABC 90 0， BE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且 BE AB2， CD1，点F 是 AE 的中点.（）求证： DF平面 ABC；（）求 AB 与平面 BDF 所成角的大小. （arcsin ）23ACDBEF
